Bihar Board Class 10 Maths Chapter 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Full Guide बिहार बोर्ड कक्षा 10वीं के गणित का पहला अध्याय ‘वास्तविक संख्याएँ’ (Real Numbers) गणित की नींव है। बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से काफी संख्या में वस्तुनिष्ठ (Objective) और लघु उत्तरीय प्रश्न पूछे जाते हैं। यदि आप मैट्रिक परीक्षा 2026 में अच्छे अंक लाना चाहते हैं, तो इस अध्याय के कॉन्सेप्ट्स को समझना आपके लिए अनिवार्य है।

वास्तविक संख्याएँ क्या हैं? (Introduction)

वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें संख्या रेखा (Number Line) पर प्रदर्शित किया जा सकता है। इसमें सभी परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) और अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) शामिल होती हैं।

कक्षा 10वीं के पहले अध्याय में हम मुख्य रूप से यूक्लिड विभाजन प्रमेियिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और अपरिमेय संख्याओं की सिद्धता के बारे में पढ़ते हैं।

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 1: मुख्य बिंदु और परिभाषाएँ

इस अध्याय को समझने के लिए निम्नलिखित बिंदुओं को जानना जरूरी है:

• प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): गणना के लिए उपयोग होने वाली संख्याएँ जैसे 1, 2, 3…

• पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): शून्य के साथ प्राकृत संख्याएँ (0, 1, 2, 3…)

• पूर्णांक (Integers): धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य का समूह।

• परिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ q \neq 0 हो।

• अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जैसे √2, √3, π आदि।

महत्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)

बिहार बोर्ड की परीक्षा में इस सेक्शन से सीधे सवाल आते हैं:

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s Division Lemma)

दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

व्याख्या: किसी भी संख्या a को b से भाग देने पर भागफल q और शेषफल r प्राप्त होता है। शेषफल हमेशा भाजक b से छोटा होता है।

उपयोग: इसका उपयोग मुख्य रूप से दो संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने के लिए किया जाता है।

2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है। यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, केवल अभाज्य संख्याओं के क्रम को छोड़कर।

उदाहरण: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

3. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formula)

HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b

यह सूत्र परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

व्याख्या: किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

 4. वास्तविक संख्याओं के लिए महत्वपूर्ण तथ्य

– प्रत्येक परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0
– अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता
– √2, √3, √5, π अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं
– √4, √9, √16 परिमेय संख्याएँ हैं

5. दशमलव प्रसार (Decimal Expansion)

किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होता है यदि उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों।

उदाहरण: 7/8 = 7/2³ (सांत), 5/6 = 5/(2×3) (असांत आवर्ती)

बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण टॉपिक

यदि आप Bihar Board Class 10 Maths की तैयारी कर रहे हैं, तो इन टॉपिक्स को बिल्कुल न छोड़ें:

1. HCF और LCM ज्ञात करना: अभाज्य गुणनखंड विधि और यूक्लिड विभाजन विधि से।

2. अपरिमेयता सिद्ध करना: जैसे “सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।” (यह प्रश्न अक्सर 3 या 5 अंक में आता है)।

3. शांत और अशांत आवर्ती: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए यह बताना कि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत।

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ: Important MCQ Practice

परीक्षा के नए पैटर्न के अनुसार यहाँ कुछ महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न दिए गए हैं:

Q.1: भाग एल्गोरिथ्म a = bq + r में यदि b = 4, q = 5 और r = 1 हो, तो a का मान क्या है?

(a) 20

(b) 21

(c) 25

(d) 31

Ans:- b

Solution:

a = bq + r

a = 4 × 5 + 1

a = 20 + 1 = 21

Q.2: 0.505 को p/(2ⁿ × 5ᵐ) के रूप में कैसे लिखा जा सकता है?

(a) 101/(2¹ × 5²)

(b) 101/(2³ × 5²)

(c) 101/(2² × 5²)

(d) 101/(2³ × 5³)

Ans:- b

Solution:

0.505 = 505 / 1000

5 से काटने पर = 101 / 200

200 का गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ × 5²

अतः रूप = 101 / (2³ × 5²)

Q.3: निम्नलिखित में से किस भिन्न का दशमलव प्रसार सांत है?

(a) 14/(2⁰ × 3²)

(b) 9/(5¹ × 7²)

(c) 8/(2² × 3²)

(d) 15/(2² × 5³)

Ans:- d

Solution:

जिस भिन्न के हर का गुणनखंड केवल 2 और 5 के रूप (2ⁿ × 5ᵐ) में हो, वह सांत होता है।

विकल्प (d) में हर 2² × 5³ के रूप में है, इसलिए यह सांत है।

Q.4: π (पाई) एक कैसी संख्या है?

(a) परिमेय संख्या

(b) अपरिमेय संख्या

(c) पूर्णांक

(d) प्राकृत संख्या

Ans:- b

Solution:

π का मान एक असांत अनावर्ती (non-terminating non-repeating) दशमलव होता है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

Q.5: √2 निम्नलिखित में से क्या है?

(a) परिमेय संख्या

(b) अपरिमेय संख्या

(c) प्राकृत संख्या

(d) पूर्ण संख्या

Ans:- b

Solution:

√2 का पूर्ण वर्गमूल नहीं निकलता है और इसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है। अतः यह अपरिमेय संख्या है।

Q.6: दो अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) का म.स. (HCF) क्या होता है?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) दोनों संख्याओं का गुणनफल

Ans:- b

Solution:

दो अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, इसलिए उनका HCF हमेशा 1 होता है।

Q.7: दो लगातार प्राकृत संख्याओं का म.स. (HCF) क्या होगा?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

Ans:- b

Solution:

कोई भी दो लगातार संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य (Co-prime) होती हैं, इसलिए उनका HCF हमेशा 1 होता है।

Q.8: सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

Ans:- c

Solution:

अभाज्य संख्याएँ 2 से शुरू होती हैं (2, 3, 5, 7…)। अतः सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।

Q.9: सबसे छोटी भाज्य संख्या (Composite Number) कौन-सी है?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

Ans:- d

Solution:

भाज्य संख्या वह है जिसके 2 से अधिक गुणनखंड हों। 4 के गुणनखंड (1, 2, 4) हैं। अतः सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है।

Q.10: सबसे छोटी भाज्य संख्या और सबसे छोटी अभाज्य संख्या का म.स. (HCF) क्या होगा?

(a) 1

(b) 2

(c) 4

(d) 8

Ans:- b

Solution:

सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4

सबसे छोटी अभाज्य संख्या = 2

4 और 2 का HCF = 2

तैयारी के लिए टिप्स (Preparation Tips)

• NCERT के उदाहरण: Bihar Board Class 10 Maths Chapter 1  के सभी उदाहरण (Examples) को कम से कम दो बार हल करें।

• विभाजन नियम: 2, 3, 5, और 11 के विभाज्यता के नियमों को याद रखें, इससे गुणनखंड करने में आसानी होगी।

• फार्मूला चार्ट: HCF × LCM = n₁ × n₂  वाले फार्मूले पर आधारित सवालों का खूब अभ्यास करें।

निष्कर्ष (Conclusion)

‘वास्तविक संख्याएँ’ अध्याय न केवल आसान है बल्कि स्कोरिंग भी है। यदि आप ऊपर बताए गए Bihar Board Class 10 Maths Chapter 1 प्रमेयों और सूत्रों को समझ लेते हैं, तो बिहार बोर्ड की परीक्षा में आप इस चैप्टर से एक भी अंक नहीं गंवाएंगे। निरंतर अभ्यास ही गणित में सफलता की एकमात्र कुंजी है।