Class 10 Math Chapter 15 Probability NCERT Solutions in Hindi | प्रायिकता – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

परिचय – प्रायिकता क्या है और यह अध्याय क्यों ज़रूरी है?

Class 10 Math Chapter 15 Probability यानी प्रायिकता NCERT Class 10 Maths की पुस्तक का अंतिम अध्याय है। इस अध्याय में हम सीखते हैं कि किसी घटना के घटने की संभावना को संख्या में कैसे मापा जाता है।

इसके सभी प्रश्न रोज़ की चीज़ों पर आधारित होते हैं — सिक्का उछालना, पासा फेंकना, ताश के पत्ते निकालना, थैले से गेंद निकालना। इसलिए यह अध्याय छात्रों को सबसे आसान और मज़ेदार लगता है।

Bihar Board (BSEB) Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से हर साल 3–5 अंक के प्रश्न आते हैं, जिनमें MCQ सबसे अधिक होते हैं। सूत्र केवल एक है, इसलिए थोड़े अभ्यास से पूरे अंक मिल सकते हैं।

ध्यान दें: इस अध्याय में गलती सूत्र में नहीं होती, गिनती में होती है। इसलिए हर प्रश्न में पहले कुल परिणाम और अनुकूल परिणाम ध्यान से गिनें।

जानकारी – एक नज़र में यह अध्याय

इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. प्रायिकता की परिभाषा – घटना, अनुकूल परिणाम और P(E) का सूत्र
2. निश्चित घटना, असंभव घटना और पूरक घटना
3. प्रश्नावली 15.1 – सिक्के, पासे, ताश, गेंदें, संख्याएँ, लॉटरी व कैलेंडर के प्रश्न
4. प्रश्नावली 15.2 (वैकल्पिक) – तर्क व विशेष प्रश्न
5. NCERT उदाहरण, Case Study, MCQ Quiz और FAQ

नोट: NCERT की नई (rationalised) पुस्तक में केवल प्रश्नावली 15.1 मुख्य है; प्रश्नावली 15.2 वैकल्पिक (optional) है। Bihar Board का पाठ्यक्रम भी यही है।

📊 Important Formulas – महत्वपूर्ण सूत्र और मुख्य जानकारी

मुख्य सूत्र: P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल संभव परिणामों की संख्या

याद रखें: हर प्रश्न में यही दो संख्याएँ गिननी हैं — पहले कुल परिणाम, फिर अनुकूल परिणाम।

प्रश्नावली 15.1 – प्रायिकता के प्रश्न (हल सहित)

इस प्रश्नावली के हर प्रश्न में एक ही विधि है — पहले कुल परिणाम गिनो, फिर अनुकूल परिणाम गिनो, फिर सूत्र लगाओ।

प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए:

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = _____

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती, _____ कहलाती है। ऐसी घटना _____ कहलाती है।

(iii) वह घटना जो निश्चित रूप से घटेगी, _____ कहलाती है और उसकी प्रायिकता _____ होती है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग _____ होता है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता _____ से बड़ी या बराबर और _____ से छोटी या बराबर होती है।

हल:

चरण 1: पूरक घटना का नियम याद करें — P(E) + P(E नहीं) = 1।

चरण 2: अब हर खाली स्थान भरें —

उत्तर: (i) 1  (ii) 0, असंभव घटना  (iii) निश्चित घटना, 1  (iv) 1  (v) 0, 1

प्रश्न 2. निम्नलिखित में से किन प्रयोगों के परिणामों के समान रूप से आने की संभावना (equally likely) है? कारण दीजिए।

(i) एक ड्राइवर कार चालू करने का प्रयत्न करता है। (ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करता है। (iii) सत्य/असत्य प्रश्न का उत्तर देने का प्रयत्न किया जाता है। (iv) एक बच्चे का जन्म होता है।

हल:

चरण 1: “समान संभावना” का अर्थ है — हर परिणाम के आने का मौका बिल्कुल बराबर हो।

चरण 2: (i) कार चालू होना या न होना ड्राइवर के नियंत्रण और कार की हालत पर है — समान संभावना नहीं। (ii) बास्केट पड़ना खिलाड़ी की कुशलता पर है — समान संभावना नहीं।

चरण 3: (iii) सत्य या असत्य — केवल दो परिणाम, दोनों बराबर — समान संभावना है। (iv) लड़का या लड़की — दो परिणाम बराबर माने जाते हैं — समान संभावना है।

उत्तर: केवल (iii) और (iv) के परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

प्रश्न 3. सिक्का उछालना न्यायसंगत (fair) क्यों माना जाता है?

हल:

चरण 1: सिक्का सममित (symmetric) होता है — उसका कोई पहलू भारी या हल्का नहीं होता।

चरण 2: इसलिए चित (Head) और पट (Tail) दोनों के आने की संभावना बिल्कुल बराबर होती है और कोई परिणाम पहले से तय नहीं किया जा सकता।

उत्तर: सिक्के के दोनों परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं और कोई पक्षपात नहीं होता, इसलिए सिक्का उछालना न्यायसंगत माना जाता है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

(A) 2/3   (B) −1.5   (C) 15%   (D) 0.7

हल:

चरण 1: प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है — ऋणात्मक कभी नहीं होती।

चरण 2: −1.5 ऋणात्मक है, इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकती। (15% = 0.15 होता है, वह संभव है।)

उत्तर: (B) −1.5

प्रश्न 5. यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है?

हल:

चरण 1: पूरक घटना का सूत्र लिखें — P(E नहीं) = 1 − P(E)।

चरण 2: मान रखें — P(E नहीं) = 1 − 0.05 = 0.95।

उत्तर: P(E नहीं) = 0.95

प्रश्न 6. एक थैले में केवल नींबू की गंध वाली मिठाइयाँ हैं। मालिनी बिना देखे एक मिठाई निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मिठाई (i) संतरे की गंध वाली है? (ii) नींबू की गंध वाली है?

हल:

चरण 1: थैले में संतरे की गंध वाली मिठाई है ही नहीं — अनुकूल परिणाम = 0।

चरण 2: थैले की हर मिठाई नींबू की है — जो भी निकलेगी, नींबू की ही होगी।

उत्तर: (i) 0 (असंभव घटना)  (ii) 1 (निश्चित घटना)

प्रश्न 7. 3 विद्यार्थियों के समूह में, 2 विद्यार्थियों के जन्म-दिन एक ही न होने की प्रायिकता 0.992 है। 2 विद्यार्थियों के जन्म-दिन एक ही होने की प्रायिकता क्या है?

हल:

चरण 1: “जन्म-दिन एक ही होना” और “एक ही न होना” — ये दो पूरक घटनाएँ हैं।

चरण 2: P(एक ही जन्म-दिन) = 1 − 0.992 = 0.008।

उत्तर: 0.008

प्रश्न 8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

हल:

चरण 1: कुल गेंदें = 3 + 5 = 8 (कुल परिणाम)।

चरण 2: लाल गेंदें = 3 (अनुकूल परिणाम)। P(लाल) = 3/8।

उत्तर: P(लाल गेंद) = 3/8

प्रश्न 9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफ़ेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। डिब्बे से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया कंचा (i) लाल है, (ii) सफ़ेद है, (iii) हरा नहीं है।

हल:

चरण 1: कुल कंचे = 5 + 8 + 4 = 17।

चरण 2: (i) P(लाल) = 5/17। (ii) P(सफ़ेद) = 8/17।

चरण 3: (iii) हरा नहीं = लाल + सफ़ेद = 5 + 8 = 13, इसलिए P = 13/17।

उत्तर: (i) 5/17  (ii) 8/17  (iii) 13/17

प्रश्न 10. एक गुल्लक में 50 पैसे के 100 सिक्के, ₹1 के 50 सिक्के, ₹2 के 20 सिक्के और ₹5 के 10 सिक्के हैं। गुल्लक को उलटने पर एक सिक्का बाहर गिरेगा। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह सिक्का (i) 50 पैसे का होगा, (ii) ₹5 का नहीं होगा।

हल:

चरण 1: कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180।

चरण 2: (i) P(50 पैसे) = 100/180 = 5/9।

चरण 3: (ii) ₹5 के नहीं वाले सिक्के = 180 − 10 = 170, इसलिए P = 170/180 = 17/18।

उत्तर: (i) 5/9  (ii) 17/18

प्रश्न 11. गोपी अपने मछली-घर के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी (जिसमें 5 नर मछलियाँ और 8 मादा मछलियाँ हैं) से यादृच्छया एक मछली निकालता है। निकाली गई मछली के नर होने की प्रायिकता क्या है?

हल:

चरण 1: कुल मछलियाँ = 5 + 8 = 13।

चरण 2: नर मछलियाँ = 5, इसलिए P(नर) = 5/13।

उत्तर: 5/13

प्रश्न 12. एक संयोग के खेल में एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने पर 1 से 8 तक की संख्याओं में से किसी एक की ओर संकेत करता है (सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तीर (i) 8 की ओर संकेत करेगा, (ii) एक विषम संख्या की ओर संकेत करेगा, (iii) 2 से बड़ी संख्या की ओर संकेत करेगा, (iv) 9 से छोटी संख्या की ओर संकेत करेगा।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 8 (संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)।

चरण 2: (i) संख्या 8 केवल एक है ⇒ P = 1/8। (ii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5, 7 (कुल 4) ⇒ P = 4/8 = 1/2।

चरण 3: (iii) 2 से बड़ी संख्याएँ = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (कुल 6) ⇒ P = 6/8 = 3/4। (iv) 9 से छोटी संख्याएँ सभी 8 हैं ⇒ P = 8/8 = 1।

उत्तर: (i) 1/8  (ii) 1/2  (iii) 3/4  (iv) 1

प्रश्न 13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) एक अभाज्य संख्या, (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या, (iii) एक विषम संख्या।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 6 (संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6)।

चरण 2: (i) अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5 (कुल 3) ⇒ P = 3/6 = 1/2।

चरण 3: (ii) 2 और 6 के बीच की संख्याएँ = 3, 4, 5 (कुल 3) ⇒ P = 3/6 = 1/2। (iii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5 (कुल 3) ⇒ P = 3/6 = 1/2।

ध्यान दें: 1 न तो अभाज्य है, न भाज्य — पासे वाले प्रश्नों में यही सबसे बड़ी चाल (trap) होती है।

उत्तर: (i) 1/2  (ii) 1/2  (iii) 1/2

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: हर प्रश्न में केवल दो गिनतियाँ करनी हैं — कुल परिणाम और अनुकूल परिणाम; “नहीं” वाले भाग में पूरक घटना सबसे तेज़ रास्ता है।

प्रश्न 14. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई एक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता (i) एक इक्का है, (ii) एक इक्का नहीं है।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 52। इक्के कुल 4 होते हैं (हर सूट में एक)।

चरण 2: (i) P(इक्का) = 4/52 = 1/13।

चरण 3: (ii) P(इक्का नहीं) = 1 − 1/13 = 12/13।

उत्तर: (i) 1/13  (ii) 12/13

प्रश्न 15. पाँच पत्ते — ईंट (♦) के दस्सा, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का — को नीचे मुँह करके बंद करके अच्छी तरह मिला दिया गया है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है। (i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता बेगम होगा? (ii) यदि बेगम को निकालकर एक ओर रख दिया जाए और फिर एक अन्य पत्ता निकाला जाए, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता (a) एक इक्का होगा? (b) इक्का नहीं होगा?

हल:

चरण 1: कुल पत्ते = 5, बेगम केवल 1 है। (i) P(बेगम) = 1/5।

चरण 2: बेगम निकालकर रख देने के बाद शेष पत्ते = 4 (दस्सा, गुलाम, बादशाह, इक्का)।

चरण 3: (ii)(a) P(इक्का) = 1/4। (ii)(b) P(इक्का नहीं) = 3/4।

उत्तर: (i) 1/5  (ii)(a) 1/4  (ii)(b) 3/4

प्रश्न 16. 12 खराब पेनों को 132 अच्छे पेनों के साथ अनजाने में मिला दिया गया है। पेनों को देखकर नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा। इस समूह से यादृच्छया एक पेन निकाला जाता है। निकाले गए पेन के अच्छे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: कुल पेन = 132 + 12 = 144।

चरण 2: अच्छे पेन = 132, इसलिए P(अच्छा पेन) = 132/144 = 11/12।

उत्तर: 11/12

प्रश्न 17. (i) 20 बल्बों के एक समूह (lot) में 4 खराब बल्ब हैं। इस समूह से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा? (ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और इसे वापस नहीं रखा जाता। अब शेष बल्बों से यादृच्छया एक बल्ब निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

हल:

चरण 1: (i) कुल बल्ब = 20, खराब बल्ब = 4 ⇒ P(खराब) = 4/20 = 1/5।

चरण 2: (ii) एक अच्छा बल्ब निकल जाने के बाद शेष बल्ब = 19, जिनमें अच्छे बल्ब = 16 − 1 = 15।

चरण 3: P(खराब नहीं) = 15/19।

ध्यान दें: पत्ता/बल्ब वापस न रखा जाए तो कुल संख्या हर बार 1 घट जाती है — यही इस प्रश्न की कुंजी है।

उत्तर: (i) 1/5  (ii) 15/19

प्रश्न 18. एक डिब्बे में 90 चकतियाँ (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। डिब्बे से यादृच्छया एक चकती निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उस पर अंकित होगी: (i) दो अंकों की एक संख्या, (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या, (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 90।

चरण 2: (i) दो अंकों की संख्याएँ = 10 से 90 तक = 81 ⇒ P = 81/90 = 9/10।

चरण 3: (ii) पूर्ण वर्ग = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 (कुल 9) ⇒ P = 9/90 = 1/10।

चरण 4: (iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ = 5, 10, …, 90 (कुल 18) ⇒ P = 18/90 = 1/5।

उत्तर: (i) 9/10  (ii) 1/10  (iii) 1/5

प्रश्न 19. एक बच्चे के पास एक पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं: A, B, C, D, E, A। पासा एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A आएगा? (ii) D आएगा?

हल:

चरण 1: कुल फलक = 6। अक्षर A दो फलकों पर है, D केवल एक फलक पर।

चरण 2: (i) P(A) = 2/6 = 1/3। (ii) P(D) = 1/6।

उत्तर: (i) 1/3  (ii) 1/6

प्रश्न 20. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ इस प्रकार अंकित हैं: 1, 2, 2, 3, 3, 6। इसे दो बार फेंका जाता है और दोनों बार आई संख्याओं का योग नोट किया जाता है। सभी संभव योगों की सारणी पूरी कीजिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल योग (i) सम होगा, (ii) 6 होगा, (iii) कम से कम 6 होगा।

हल:

चरण 1: हर फेंक में 6 फलक हैं, इसलिए कुल परिणाम = 6 × 6 = 36। ध्यान दें — संख्या 2 और 3 दो-दो फलकों पर हैं, इसलिए उन्हें अलग-अलग फलक मानकर गिनें।

चरण 2: पूरी की गई सारणी (योग — कितनी बार):

चरण 3: (i) सम योग (2, 4, 6, 8, 12) की बारंबारता = 1 + 8 + 4 + 4 + 1 = 18 ⇒ P = 18/36 = 1/2।

चरण 4: (ii) योग 6 की बारंबारता = 4 ⇒ P = 4/36 = 1/9। (iii) कम से कम 6 (योग 6, 7, 8, 9, 12) = 4 + 2 + 4 + 4 + 1 = 15 ⇒ P = 15/36 = 5/12।

उत्तर: (i) 1/2  (ii) 1/9  (iii) 5/12

प्रश्न 21. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) किसी भी बार 5 नहीं आएगा? (ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

हल:

चरण 1: एक बार में 5 न आने की प्रायिकता = 5/6 (परिणाम 1, 2, 3, 4, 6)।

चरण 2: (i) दोनों बार 5 न आए = (5/6) × (5/6) = 25/36।

चरण 3: (ii) कम से कम एक बार 5 आए = 1 − 25/36 = 11/36 (पूरक घटना)।

उत्तर: (i) 25/36  (ii) 11/36

प्रश्न 22. दो पासे — एक नीला और एक भूरा — एक साथ फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं के सभी संभव योगों की सारणी बनाइए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि योग (i) 8 है, (ii) 13 है, (iii) 12 या उससे कम है।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 36। योगों की सारणी (पंक्ति = नीला पासा, स्तंभ = भूरा पासा):

चरण 2: (i) योग 8 वाले युग्म = (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — कुल 5 ⇒ P = 5/36।

चरण 3: (ii) योग 13 असंभव है (अधिकतम योग 12) ⇒ P = 0। (iii) सभी योग 12 या उससे कम ही होते हैं ⇒ P = 36/36 = 1।

ध्यान दें: (2,6) और (6,2) अलग-अलग परिणाम हैं — दो पासों में क्रम मायने रखता है।

उत्तर: (i) 5/36  (ii) 0  (iii) 1

प्रश्न 23. एक खेल में एक रुपये के सिक्के को 3 बार उछाला जाता है और हर बार का परिणाम नोट किया जाता है। हनीफ़ जीतता है यदि सभी उछालों में एक जैसा परिणाम (अर्थात् तीनों चित या तीनों पट) आए, अन्यथा वह हार जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि हनीफ़ खेल हारेगा।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 2 × 2 × 2 = 8 — HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT।

चरण 2: जीतने वाले परिणाम = HHH, TTT (केवल 2) ⇒ P(जीत) = 2/8 = 1/4।

चरण 3: P(हार) = 1 − 1/4 = 3/4।

उत्तर: P(हनीफ़ हारेगा) = 3/4

प्रश्न 24. एक डिब्बे में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x काली गेंदें हैं। यदि डिब्बे से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाए, तो उसके काली होने की प्रायिकता क्या होगी? यदि डिब्बे में 6 और काली गेंदें डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकलने की प्रायिकता पहले की तुलना में दोगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: पहले P(काली) = x/12।

चरण 2: 6 और काली गेंदें डालने पर कुल गेंदें = 18 और काली गेंदें = x + 6, इसलिए नई प्रायिकता = (x + 6)/18।

चरण 3: शर्त के अनुसार (x + 6)/18 = 2 × (x/12) = x/6 ⇒ x + 6 = 3x ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3।

उत्तर: P(काली) = x/12; x = 3

प्रश्न 25. एक जार (jar) में 24 कंचे हैं, जिनमें से कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि जार से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाए, तो उसके हरे होने की प्रायिकता 2/3 है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना हरे कंचे = x। तब P(हरा) = x/24 = 2/3।

चरण 2: x = 24 × (2/3) = 16 (हरे कंचे)।

चरण 3: नीले कंचे = 24 − 16 = 8।

उत्तर: नीले कंचे = 8

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: दो पासों में कुल 36 परिणाम होते हैं और क्रम मायने रखता है; “कम से कम एक बार” वाले प्रश्न पूरक घटना से सबसे जल्दी हल होते हैं।

प्रश्नावली 15.2 (वैकल्पिक) – हल सहित

यह प्रश्नावली optional है, परंतु इसके प्रश्न तर्क (reasoning) मज़बूत करते हैं और MCQ में काम आते हैं।

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सही हैं और कौन-से गलत? कारण दीजिए। (i) यदि दो सिक्के एक साथ उछाले जाएँ, तो तीन संभावित परिणाम हैं — दो चित, दो पट या एक-एक दोनों में से। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 है। (ii) यदि एक पासा फेंका जाए, तो दो संभावित परिणाम हैं — विषम संख्या या सम संख्या। इसलिए विषम संख्या आने की प्रायिकता 1/2 है।

हल:

चरण 1: (i) असली परिणाम चार हैं — HH, HT, TH, TT। “एक चित, एक पट” दो तरीकों (HT, TH) से आ सकता है, इसलिए तीनों स्थितियाँ समान संभावना वाली नहीं हैं। यह तर्क गलत है। सही प्रायिकताएँ: दो चित = 1/4, दो पट = 1/4, एक-एक = 1/2।

चरण 2: (ii) पासे पर विषम संख्याएँ 3 (1, 3, 5) और सम संख्याएँ भी 3 (2, 4, 6) हैं — दोनों समान संभावना वाली हैं। यह तर्क सही है; P(विषम) = 3/6 = 1/2।

उत्तर: (i) गलत  (ii) सही

प्रश्न 2. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार तक) में किसी एक दिन जाने वाले हैं। हर एक का किसी भी दिन समान रूप से जाने की संभावना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों (i) एक ही दिन, (ii) क्रमागत (consecutive) दिनों में, (iii) भिन्न दिनों में जाएँगे।

हल:

चरण 1: हर ग्राहक के 5 विकल्प हैं, इसलिए कुल परिणाम = 5 × 5 = 25।

चरण 2: (i) एक ही दिन वाले युग्म = 5 (मं–मं, बु–बु, …) ⇒ P = 5/25 = 1/5।

चरण 3: (ii) क्रमागत दिनों के युग्म = (मं,बु), (बु,मं), (बु,बृ), (बृ,बु), (बृ,शु), (शु,बृ), (शु,श), (श,शु) = 8 ⇒ P = 8/25।

चरण 4: (iii) भिन्न दिन = 25 − 5 = 20 ⇒ P = 20/25 = 4/5।

उत्तर: (i) 1/5  (ii) 8/25  (iii) 4/5

प्रश्न 3. एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकलने की प्रायिकता की दोगुनी है, तो नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना नीली गेंदें = x। कुल गेंदें = 5 + x।

चरण 2: P(नीली) = x/(5 + x) और P(लाल) = 5/(5 + x)। शर्त: x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x)।

चरण 3: हर समान है, इसलिए x = 10।

उत्तर: नीली गेंदें = 10

प्रश्न 4. 2 से 101 तक की संख्याओं से अंकित कार्ड एक डिब्बे में रखकर अच्छी तरह मिलाए गए हैं। डिब्बे से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या (i) एक सम संख्या है, (ii) 12 से छोटी संख्या है, (iii) 5 की गुणज संख्या है, (iv) सम संख्या नहीं है।

हल:

चरण 1: कुल कार्ड = 100 (संख्याएँ 2 से 101 तक)।

चरण 2: (i) सम संख्याएँ = 50 ⇒ P = 50/100 = 1/2। (ii) 12 से छोटी संख्याएँ = 2 से 11 तक = 10 ⇒ P = 10/100 = 1/10।

चरण 3: (iii) 5 के गुणज = 5, 10, …, 100 (कुल 20) ⇒ P = 20/100 = 1/5। (iv) सम नहीं = 1 − 1/2 = 1/2।

उत्तर: (i) 1/2  (ii) 1/10  (iii) 1/5  (iv) 1/2

प्रश्न 5. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 4, 4, 6 अंकित हैं। पासा एक बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आई संख्या (i) एक अभाज्य संख्या है, (ii) एक सम संख्या है, (iii) 6 है।

हल:

चरण 1: कुल फलक = 6। फलक: 1 (एक बार), 2 (दो बार), 4 (दो बार), 6 (एक बार)।

चरण 2: (i) अभाज्य संख्या केवल 2 है, जो 2 फलकों पर है ⇒ P = 2/6 = 1/3।

चरण 3: (ii) सम संख्याओं वाले फलक = 2, 2, 4, 4, 6 (कुल 5) ⇒ P = 5/6। (iii) संख्या 6 एक ही फलक पर है ⇒ P = 1/6।

उत्तर: (i) 1/3  (ii) 5/6  (iii) 1/6

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: प्रायिकता बाँटने से पहले यह जाँचना सबसे ज़रूरी है कि परिणाम सच में समान संभावना वाले हैं या नहीं।

NCERT उदाहरण – पुस्तक के मुख्य उदाहरण (हल सहित)

उदाहरण 1. सविता और हमीदा सहेलियाँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि उनके जन्म-दिन (i) भिन्न हों, (ii) एक ही हों? (लीप वर्ष को छोड़कर)

हल:

चरण 1: वर्ष में 365 दिन होते हैं। हमीदा का जन्म-दिन 365 दिनों में से कोई भी हो सकता है।

चरण 2: (ii) सविता के जन्म-दिन से मिलने वाला दिन केवल 1 है ⇒ P(एक ही) = 1/365।

चरण 3: (i) P(भिन्न) = 1 − 1/365 = 364/365।

उत्तर: (i) 364/365  (ii) 1/365

उदाहरण 2. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दो चित आएँगे, (ii) कम से कम एक चित आएगा, (iii) कोई चित नहीं आएगा।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = {HH, HT, TH, TT} — कुल 4। नीचे के tree diagram में हर शाखा एक परिणाम दिखाती है।

चित्र: दो सिक्कों के सभी 4 परिणामों का tree diagram — हर शाखा एक संभावना को दर्शाती है।

चरण 2: (i) दो चित = {HH} ⇒ P = 1/4। (ii) कम से कम एक चित = {HH, HT, TH} ⇒ P = 3/4। (iii) कोई चित नहीं = {TT} ⇒ P = 1/4।

उत्तर: (i) 1/4  (ii) 3/4  (iii) 1/4

उदाहरण 3. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता (i) लाल रंग का बादशाह है, (ii) मुँह वाला पत्ता है, (iii) लाल मुँह वाला पत्ता है, (iv) ईंट (♦) की बेगम है।

हल:

चरण 1: कुल परिणाम = 52।

चरण 2: (i) लाल बादशाह = 2 ⇒ P = 2/52 = 1/26। (ii) मुँह वाले पत्ते = 12 ⇒ P = 12/52 = 3/13।

चरण 3: (iii) लाल मुँह वाले पत्ते = 6 (लाल के 2 सूट × 3) ⇒ P = 6/52 = 3/26। (iv) ईंट की बेगम = 1 ⇒ P = 1/52।

उत्तर: (i) 1/26  (ii) 3/13  (iii) 3/26  (iv) 1/52

📖 Case Study – विद्यालय मेले का खेल

विद्यालय के मेले में एक खेल का स्टॉल लगाया गया। एक बड़े डिब्बे में 4 लाल, 6 नीली और 5 हरी गेंदें (कुल 15 गेंदें) रखी हैं। हर खिलाड़ी बिना देखे डिब्बे से एक गेंद निकालता है और गेंद को वापस रख देता है, ताकि हर खिलाड़ी के लिए कुल गेंदें 15 ही रहें।

Q1. लाल गेंद निकलने की प्रायिकता है —

(A) 4/15
(B) 2/5
(C) 1/3
(D) 6/15

Q2. नीली गेंद न निकलने की प्रायिकता है —

(A) 6/15
(B) 3/5
(C) 2/5
(D) 9/10

Q3. हरी गेंद निकलने की प्रायिकता है —

(A) 1/5
(B) 5/16
(C) 1/3
(D) 2/3

Q4. लाल या हरी गेंद निकलने की प्रायिकता है —

(A) 9/15
(B) 4/5
(C) 1/2
(D) 2/5

⭐ Quick Revision – Important Points और आम गलतियाँ

Important Points (दोहराने योग्य बातें)

• प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है; भिन्न को सरलतम रूप में लिखें (जैसे 12/52 = 3/13)।
• पूरक घटना: P(E) + P(Ē) = 1 — “नहीं” वाले प्रश्नों में सबसे उपयोगी।
• ताश: कुल 52 पत्ते, 4 सूट, हर सूट में 13; लाल 26, काले 26; मुँह वाले पत्ते 12; इक्के 4।
• दो सिक्के = 4 परिणाम; एक पासा = 6; दो पासे = 36 परिणाम।
• लीप वर्ष में 53 रविवार की प्रायिकता 2/7 और साधारण वर्ष में 1/7 होती है।

आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• 1 को अभाज्य मानना — 1 न अभाज्य है, न भाज्य। पासे पर अभाज्य संख्याएँ केवल 2, 3, 5 हैं।
• इक्के को मुँह वाला पत्ता मानना — मुँह वाले पत्ते केवल बादशाह, बेगम और गुलाम होते हैं।
• दो पासों में (2,6) और (6,2) को एक मानना — ये दो अलग परिणाम हैं।
• वापस रखना भूलना — पत्ता/गेंद वापस न रखी जाए तो कुल संख्या घटती है; प्रश्न ध्यान से पढ़ें।
• उत्तर 1 से बड़ा रखना — ऐसा आए तो गिनती अवश्य दोबारा जाँचें।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• पहले कुल परिणाम लिखें: हर उत्तर की शुरुआत “कुल संभव परिणाम = …” से करने से विधि स्पष्ट होती है और आंशिक अंक सुरक्षित रहते हैं।
• ताश की संख्याएँ याद रखें: 52, 13, 26, 12, 4 — MCQ का अधिकांश भाग यहीं से आता है।
• सूची बनाकर गिनें: दो पासों/सिक्कों में अनुकूल युग्म लिख देने से कोई परिणाम छूटता नहीं।
• “नहीं” दिखे तो पूरक: 1 में से घटाने वाला तरीका सबसे तेज़ है।
• यह पुस्तक का अंतिम अध्याय है — इसके बाद पूरी Maths की पुनरावृत्ति (revision) शुरू कर दें।

📝 Class 10 Math Chapter 15 Probability MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले बिना देखे हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर उत्तर मिलाएँ।

Q1. किसी घटना E की प्रायिकता P(E) के लिए सत्य है —

(A) P(E) < 0
(B) P(E) > 1
(C) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(D) P(E) = 2

Q2. एक निश्चित घटना (Sure Event) की प्रायिकता होती है —

(A) 0
(B) 1/2
(C) 1
(D) 2

Q3. एक सिक्का उछालने पर चित (Head) आने की प्रायिकता है —

(A) 1
(B) 1/2
(C) 1/4
(D) 0

Q4. एक पासा फेंकने पर 5 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता है —

(A) 1/3
(B) 1/2
(C) 5/6
(D) 1/6

Q5. अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्ते होते हैं —

(A) 48
(B) 50
(C) 52
(D) 54

Q6. ताश से एक पत्ता निकालने पर हुकुम (Spade) का पत्ता मिलने की प्रायिकता है —

(A) 1/13
(B) 1/4
(C) 1/2
(D) 13/50

Q7. दो सिक्के एक साथ उछालने पर दोनों पर पट (Tail) आने की प्रायिकता है —

(A) 1/2
(B) 3/4
(C) 1/4
(D) 1

Q8. यदि P(E) = 0.3 है, तो P(E नहीं) बराबर है —

(A) 0.3
(B) 0.7
(C) 1.3
(D) 0

Q9. असंभव घटना (Impossible Event) की प्रायिकता होती है —

(A) 1
(B) 1/2
(C) 0
(D) −1

Q10. 1 से 10 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनने पर सम संख्या मिलने की प्रायिकता है —

(A) 2/5
(B) 1/2
(C) 3/5
(D) 1/5

Q11. एक थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता है —

(A) 4/6
(B) 3/5
(C) 2/5
(D) 1/4

Q12. एक पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है —

(A) 1/3
(B) 2/3
(C) 5/6
(D) 1/2

Q13. एक साधारण वर्ष (365 दिन) में 53 रविवार आने की प्रायिकता है —

(A) 2/7
(B) 1/7
(C) 53/365
(D) 1/2

Q14. ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर बादशाह (King) मिलने की प्रायिकता है —

(A) 1/4
(B) 4/13
(C) 1/13
(D) 1/52

Q15. दो पासे एक साथ फेंकने पर योग 12 आने की प्रायिकता है —

(A) 1/36
(B) 1/18
(C) 1/12
(D) 5/36

Answer Key – उत्तरमाला

❓ Class 10 Math Chapter 15 Probability – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

1. Class 10 Math Chapter 15 Probability का सूत्र क्या है?

P(E) = घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल संभव परिणामों की संख्या। यही इस पूरे अध्याय का एकमात्र मुख्य सूत्र है — बाकी सब गिनती का खेल है।

2. ताश (Cards) के प्रश्नों में किन संख्याओं को याद रखना चाहिए?

कुल पत्ते 52; प्रत्येक सूट (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी) में 13 पत्ते; लाल पत्ते 26, काले पत्ते 26; इक्के 4, बादशाह 4, बेगम 4, गुलाम 4; मुँह वाले पत्ते (Face Cards) कुल 12। इक्का face card नहीं होता — यह आम गलती है।

3. “कम से कम एक” (At least One) वाले प्रश्न कैसे हल करें?

दो तरीकों से — या तो अनुकूल परिणामों की सीधी सूची बनाकर गिनें, या पूरक घटना का प्रयोग करें: P(कम से कम एक) = 1 − P(एक भी नहीं)। दो सिक्कों में कम से कम एक चित = 1 − P(TT) = 1 − 1/4 = 3/4।

4. दो पासों के प्रश्नों में कुल परिणाम 36 ही क्यों होते हैं?

क्योंकि प्रत्येक पासे के 6 परिणाम दूसरे पासे के 6 परिणामों के साथ जुड़ते हैं — 6 × 6 = 36। इसमें (2,6) और (6,2) अलग-अलग परिणाम माने जाते हैं, इसलिए सूची ध्यान से बनाएँ।

5. Bihar Board में इस अध्याय से कैसे प्रश्न आते हैं?

अधिकतर वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ) और 2 अंक वाले छोटे प्रश्न आते हैं — सिक्का, पासा और ताश इन तीनों पर आधारित प्रश्न लगभग हर वर्ष पूछे जाते हैं। यह अध्याय Class 10 Maths के सबसे अधिक स्कोरिंग अध्यायों में से एक है।

🔗 Internal Links – अन्य अध्याय भी पढ़ें

पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 14 Statistics (सांख्यिकी) — माध्य, माध्यक और बहुलक के सूत्र एक बार फिर दोहरा लें।

यह पुस्तक का अंतिम अध्याय है — बधाई हो, आपने पूरी Class 10 Maths पूरी कर ली! शुरुआत से दोहराने के लिए पहला अध्याय फिर से पढ़ें: Class 10 Math Chapter 1 Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

सभी अध्याय एक साथ: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book – सभी अध्याय व PDF

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

🔚 Conclusion – निष्कर्ष

प्रायिकता में सफलता का एक ही रहस्य है — सही गिनती। सूत्र लगाना आसान है; असली काम अनुकूल परिणामों को बिना छोड़े और बिना दोहराए गिनना है। ऊपर दिए गए प्रश्नों में सिक्के, पासे, ताश, गेंदें, संख्याएँ, लॉटरी और कैलेंडर — हर प्रकार का प्रश्न हल करके दिखाया गया है।

MCQ Quiz में पूरा स्कोर लाने का अभ्यास करें और ताश वाली संख्याएँ (52, 13, 12, 4) अच्छी तरह याद कर लें। पूरी पुस्तक के सभी अध्यायों के नोट्स, हल और PDF के लिए हमारी Class 10 Maths Book (Bihar Board) वाली पोस्ट देखें। पुस्तक पूरी करने पर बधाई — अब केवल दोहराना और अभ्यास ही बाकी है। शुभकामनाएँ!