Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles NCERT Solutions in Hindi | वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

परिचय – यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में क्यों महत्वपूर्ण है?

Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles यानी वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल, कक्षा 9 में पढ़े गए वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि का ही विस्तार है। इस अध्याय में हम वृत्त के किसी हिस्से — त्रिज्यखंड (Sector) और वृत्त खंड (Segment) — का क्षेत्रफल निकालना सीखते हैं।

साथ ही वृत्त को वर्ग, आयत और त्रिभुज जैसी आकृतियों के साथ मिलाकर बनी संयुक्त आकृतियों के छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालना भी इसी अध्याय का मुख्य भाग है।

Bihar Board (BSEB) Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से हर साल प्रश्न आते हैं — 1 अंक के MCQ, 2 अंक के लघु प्रश्न और कभी-कभी 5 अंक का एक दीर्घ प्रश्न। सूत्र बहुत कम हैं और प्रश्न सीधे सूत्र पर आधारित होते हैं, इसलिए यह एक scoring अध्याय है।

इस लेख में तीनों प्रश्नावलियों (12.1, 12.2, 12.3) के सभी 35 प्रश्नों के step-by-step हल, NCERT उदाहरण, एक Case Study, 15 MCQ का Quiz और FAQ दिए गए हैं। सभी गणनाएँ दोबारा जाँचकर लिखी गई हैं।

जानकारी – एक नज़र में यह अध्याय

इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल की पुनरावृत्ति – प्रश्नावली 12.1
2. त्रिज्यखंड (Sector) और चाप की लंबाई – प्रश्नावली 12.2
3. वृत्त खंड (Segment) का क्षेत्रफल – प्रश्नावली 12.2
4. समतल आकृतियों के संयोजन (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल – प्रश्नावली 12.3
5. NCERT उदाहरण, Case Study, MCQ Quiz और FAQ

नोट: NCERT की rationalised (नई) पुस्तक में इस अध्याय की यही तीन प्रश्नावलियाँ हैं और Bihar Board का पाठ्यक्रम भी इसी पर आधारित है। जहाँ कुछ न कहा गया हो, वहाँ π = 22/7 लीजिए।

📊 Important Formulas – महत्वपूर्ण सूत्रों की तालिका

याद रखें: चाप की लंबाई में परिधि वाला सूत्र (2πr) आता है और त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में क्षेत्रफल वाला सूत्र (πr²) आता है — दोनों के आगे बस (θ/360) का गुणा होता है, क्योंकि θ कोण वाला भाग पूरे 360° का उतना ही हिस्सा है।

शब्दावली: त्रिज्यखंड (Sector) = दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा भाग (पिज़्ज़ा का टुकड़ा)। वृत्त खंड (Segment) = एक जीवा (chord) और चाप से घिरा भाग।

प्रश्नावली 12.1 – वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (हल सहित)

प्रश्न 1. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

हल:

चरण 1: माना नए वृत्त की त्रिज्या = R cm। पहले वृत्त की परिधि = 2π × 19 और दूसरे की = 2π × 9।

चरण 2: शर्त के अनुसार — 2πR = 2π × 19 + 2π × 9 = 2π(19 + 9) = 2π × 28।

चरण 3: दोनों ओर से 2π हटाने पर R = 28 cm।

उत्तर: नए वृत्त की त्रिज्या = 28 cm

याद रखें: परिधियों का योग हो तो त्रिज्याओं का सीधा योग हो जाता है, क्योंकि परिधि त्रिज्या के समानुपाती होती है।

प्रश्न 2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

हल:

चरण 1: माना नए वृत्त की त्रिज्या = R cm। शर्त — πR² = π × 8² + π × 6²।

चरण 2: π से भाग देने पर R² = 64 + 36 = 100।

चरण 3: R = √100 = 10 cm।

उत्तर: नए वृत्त की त्रिज्या = 10 cm

ध्यान दें: क्षेत्रफलों के योग में त्रिज्याएँ सीधे नहीं जुड़तीं — पहले वर्गों का योग, फिर वर्गमूल। (8, 6, 10 एक पाइथागोरस त्रिक है।)

प्रश्न 3. दी गई आकृति एक तीरंदाज़ी (archery) के लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र — स्वर्ण (Gold), लाल (Red), नीला (Blue), काला (Black) और सफ़ेद (White) — अंकित हैं। स्वर्ण क्षेत्र का व्यास 21 cm है और प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। प्रत्येक पाँचों क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: त्रिज्याएँ निकालें — Gold: r₁ = 21/2 = 10.5 cm; Red तक: r₂ = 10.5 + 10.5 = 21 cm; Blue तक: r₃ = 31.5 cm; Black तक: r₄ = 42 cm; White तक: r₅ = 52.5 cm।

चरण 2: Gold का क्षेत्रफल = πr₁² = (22/7) × 10.5 × 10.5 = (22/7) × 110.25 = 346.5 cm²।

चरण 3: हर बाहरी क्षेत्र = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल − अंदर वाले वृत्त का क्षेत्रफल (वलय का सूत्र π(R² − r²))।

Red = (22/7) × (21² − 10.5²) = (22/7) × (441 − 110.25) = (22/7) × 330.75 = 1039.5 cm²

Blue = (22/7) × (31.5² − 21²) = (22/7) × (992.25 − 441) = (22/7) × 551.25 = 1732.5 cm²

Black = (22/7) × (42² − 31.5²) = (22/7) × (1764 − 992.25) = (22/7) × 771.75 = 2425.5 cm²

White = (22/7) × (52.5² − 42²) = (22/7) × (2756.25 − 1764) = (22/7) × 992.25 = 3118.5 cm²

उत्तर: Gold = 346.5 cm², Red = 1039.5 cm², Blue = 1732.5 cm², Black = 2425.5 cm², White = 3118.5 cm² (जाँच: कुल योग = 8662.5 cm² = π × 52.5² ✓)

प्रश्न 4. एक कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि कार 66 km प्रति घंटा की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाएगा?

हल:

चरण 1: 10 मिनट में तय दूरी = 66 × (10/60) = 11 km = 11,00,000 cm।

चरण 2: पहिए की परिधि = π × व्यास = (22/7) × 80 = 1760/7 cm। एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि के बराबर दूरी तय करता है।

चरण 3: चक्करों की संख्या = कुल दूरी ÷ परिधि = 11,00,000 ÷ (1760/7) = 11,00,000 × 7/1760 = 4375।

उत्तर: प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।

प्रश्न 5. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए: यदि एक वृत्त की परिधि (परिमाप) और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो वृत्त की त्रिज्या है — (A) 2 इकाई (B) π इकाई (C) 4 इकाई (D) 7 इकाई

हल:

चरण 1: शर्त लिखें — 2πr = πr²।

चरण 2: πr से भाग देने पर 2 = r, अर्थात् r = 2 इकाई।

उत्तर: (A) 2 इकाई

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: परिधि वाले प्रश्नों में त्रिज्याएँ सीधे जुड़ती हैं, क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में वर्ग जुड़ते हैं — और पहिए के चक्कर = कुल दूरी ÷ परिधि।

प्रश्नावली 12.2 – त्रिज्यखंड और वृत्त खंड (हल सहित)

चित्र: वृत्त में त्रिज्यखंड (Sector) और वृत्त खंड (Segment) — क्षेत्रफल निकालने से पहले दोनों में अंतर समझना ज़रूरी है।

प्रश्न 1. त्रिज्या 6 cm वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।

हल:

चरण 1: सूत्र लिखें — त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²। यहाँ θ = 60°, r = 6 cm।

चरण 2: मान रखें — (60/360) × (22/7) × 6 × 6 = (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7।

उत्तर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 132/7 cm² ≈ 18.86 cm²

प्रश्न 2. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

हल:

चरण 1: पहले त्रिज्या निकालें — 2πr = 22 ⇒ r = 22 × 7/44 = 3.5 cm।

चरण 2: चतुर्थांश = वृत्त का चौथाई भाग, इसलिए क्षेत्रफल = (1/4) × πr² = (1/4) × (22/7) × 3.5 × 3.5 = (1/4) × 38.5।

उत्तर: चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm² (77/8 cm²)

प्रश्न 3. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित (sweep किया गया) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: समय को कोण में बदलें — मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है, इसलिए 1 मिनट में 6° और 5 मिनट में θ = 30°।

चरण 2: सुई की लंबाई ही त्रिज्या है (r = 14 cm)। रचित क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड = (30/360) × (22/7) × 14 × 14।

चरण 3: = (1/12) × 616 = 154/3 ≈ 51.33 cm²।

उत्तर: 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = 154/3 cm² ≈ 51.33 cm²

याद रखें: घड़ी वाले प्रश्नों में सबसे पहले समय को कोण में बदलना होता है।

प्रश्न 4. त्रिज्या 10 cm वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है। संगत (i) लघु वृत्त खंड और (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: लघु त्रिज्यखंड (θ = 90°) = (90/360) × 3.14 × 10 × 10 = (1/4) × 314 = 78.5 cm²।

चरण 2: त्रिभुज (दोनों त्रिज्याएँ व जीवा) का क्षेत्रफल = (1/2) × 10 × 10 = 50 cm²।

चरण 3: (i) लघु खंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज = 78.5 − 50 = 28.5 cm²। (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड = पूरे वृत्त का क्षेत्रफल − लघु त्रिज्यखंड = 314 − 78.5 = 235.5 cm²।

उत्तर: (i) लघु खंड = 28.5 cm²  (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड = 235.5 cm²

प्रश्न 5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त में एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। ज्ञात कीजिए: (i) चाप की लंबाई, (ii) चाप द्वारा बनाया गया त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, (iii) संगत जीवा द्वारा बनाया गया वृत्त खंड का क्षेत्रफल।

हल:

चरण 1: (i) चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 132 = 22 cm।

चरण 2: (ii) त्रिज्यखंड = (60/360) × (22/7) × 21 × 21 = (1/6) × 1386 = 231 cm²।

चरण 3: (iii) दोनों त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज: दो भुजाएँ 21 cm और बीच का कोण 60° है, इसलिए यह समबाहु त्रिभुज है। क्षेत्रफल = (√3/4) × 21² = (441√3)/4 cm²।

चरण 4: खंड = 231 − (441√3)/4 ≈ 231 − 190.95 = 40.05 cm²।

उत्तर: (i) 22 cm  (ii) 231 cm²  (iii) [231 − (441√3)/4] cm² ≈ 40.05 cm²

प्रश्न 6. त्रिज्या 15 cm वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्त खंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 लीजिए)

हल:

चरण 1: त्रिज्यखंड = (60/360) × 3.14 × 15 × 15 = (1/6) × 706.5 = 117.75 cm²।

चरण 2: त्रिभुज (समबाहु, भुजा 15) का क्षेत्रफल = (√3/4) × 225 = (1.73/4) × 225 = 97.31 cm² (लगभग)।

चरण 3: लघु खंड = 117.75 − 97.31 = 20.44 cm²। दीर्घ खंड = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु खंड = 706.5 − 20.44 = 686.06 cm²।

उत्तर: लघु खंड ≈ 20.44 cm², दीर्घ खंड ≈ 686.06 cm²

प्रश्न 7. त्रिज्या 12 cm वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। संगत वृत्त खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 लीजिए)

हल:

चरण 1: त्रिज्यखंड = (120/360) × 3.14 × 12 × 12 = (1/3) × 452.16 = 150.72 cm²।

चरण 2: त्रिभुज का क्षेत्रफल: केंद्र से जीवा पर लंब डालने पर त्रिभुज दो सर्वांगसम भागों में बँटता है; कुल क्षेत्रफल = (1/2) × r² × sin 120° = (1/2) × 144 × (√3/2) = 36√3 = 36 × 1.73 = 62.28 cm²।

चरण 3: खंड = 150.72 − 62.28 = 88.44 cm²।

उत्तर: वृत्त खंड का क्षेत्रफल = 88.44 cm²

प्रश्न 8. 15 m भुजा वाले वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँधा गया है। ज्ञात कीजिए: (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, (ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि रस्सी की लंबाई 10 m हो जाए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: घोड़ा कोने पर बँधा है, इसलिए वह केवल चतुर्थांश (90° के त्रिज्यखंड) में ही चर सकता है — पूरा वृत्त नहीं!

चरण 2: (i) r = 5 m: क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 5 × 5 = (1/4) × 78.5 = 19.625 m²।

चरण 3: (ii) r = 10 m: क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 10 × 10 = 78.5 m²। वृद्धि = 78.5 − 19.625 = 58.875 m²।

उत्तर: (i) 19.625 m²  (ii) वृद्धि = 58.875 m²

ध्यान दें: इस प्रश्न की सबसे बड़ी गलती पूरा वृत्त का क्षेत्रफल लगा देना है — कोने पर बँधी रस्सी केवल चौथाई वृत्त बनाती है।

प्रश्न 9. एक ब्रोच (brooch) चाँदी के तार से वृत्त के आकार में बना है, जिसका व्यास 35 mm है। तार से वृत्त को 10 बराबर त्रिज्यखंडों में बाँटने वाले 5 व्यास भी बनाए गए हैं। ज्ञात कीजिए: (i) आवश्यक चाँदी के तार की कुल लंबाई, (ii) ब्रोच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 35/2 = 17.5 mm। वृत्त की परिधि = 2 × (22/7) × 17.5 = 110 mm।

चरण 2: (i) 5 व्यासों की लंबाई = 5 × 35 = 175 mm। कुल तार = 110 + 175 = 285 mm।

चरण 3: (ii) वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) × 17.5 × 17.5 = 962.5 mm²। प्रत्येक त्रिज्यखंड = 962.5 ÷ 10 = 96.25 mm²।

उत्तर: (i) कुल तार = 285 mm  (ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड = 96.25 mm²

प्रश्न 10. एक छाते में 8 तीलियाँ हैं, जो बराबर दूरियाँ पर हैं। छाते को 45 cm त्रिज्या का एक चपटा वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तीलियों के बीच क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: 8 बराबर तीलियाँ वृत्त को 8 बराबर त्रिज्यखंडों में बाँटती हैं, इसलिए हर भाग का कोण θ = 360 ÷ 8 = 45°।

चरण 2: क्षेत्रफल = (45/360) × (22/7) × 45 × 45 = (1/8) × (22/7) × 2025 = 44550/56।

उत्तर: दो क्रमागत तीलियों के बीच क्षेत्रफल ≈ 795.54 cm²

प्रश्न 11. एक कार के दो वाइपर हैं, जो परस्पर अतिव्यापित (overlap) नहीं होते। प्रत्येक वाइपर की ब्लेड की लंबाई 25 cm है और यह 115° के कोण से घुमता है। प्रत्येक घुमाव में ब्लेडों द्वारा साफ़ किया गया कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: हर ब्लेड एक त्रिज्यखंड साफ़ करता है, जिसमें r = 25 cm और θ = 115°।

चरण 2: एक ब्लेड का क्षेत्रफल = (115/360) × (22/7) × 25 × 25।

चरण 3: दोनों ब्लेड (एक जैसे, overlap नहीं) ⇒ कुल = 2 × (115/360) × (22/7) × 625 = 632500/504 ≈ 1254.96 cm²।

उत्तर: कुल साफ़ किया गया क्षेत्रफल ≈ 1254.96 cm²

प्रश्न 12. जलमग्न चट्टानों के बारे में जहाज़ों को चेतावनी देने के लिए एक प्रकाश-स्तंभ (lighthouse) 80° कोण वाले त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ जहाज़ों को चेतावनी दी जाती है। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: यहाँ त्रिज्या r = दूरी = 16.5 km और θ = 80°।

चरण 2: क्षेत्रफल = (80/360) × 3.14 × 16.5 × 16.5 = (2/9) × 3.14 × 272.25 = 1709.73 ÷ 9।

उत्तर: क्षेत्रफल ≈ 189.97 km²

प्रश्न 13. एक गोल मेज़पोश (table cover) पर छह समान डिज़ाइन बने हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹0.35 प्रति cm² की दर से डिज़ाइन बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.732 लीजिए)

हल:

चरण 1: छह समान डिज़ाइन पूरे वृत्त को घेरते हैं। एक डिज़ाइन = खंड (segment), जिसका केंद्र कोण = 360 ÷ 6 = 60° है।

चरण 2: एक त्रिज्यखंड (60°) = (60/360) × (22/7) × 28 × 28 = (1/6) × 2464 = 410.67 cm²। संगत त्रिभुज समबाहु है (भुजा 28): क्षेत्रफल = (√3/4) × 28² = 1.732 × 196 = 339.47 cm²।

चरण 3: एक डिज़ाइन (खंड) = 410.67 − 339.47 = 71.20 cm² (लगभग)। छह डिज़ाइन = 6 × 71.20 = 427.20 cm² (परिशुद्ध मान 427.2 cm² के आसपास; NCERT उत्तर 427.2 cm²)।

चरण 4: लागत = 427.2 × 0.35 = ₹149.52 (लगभग)।

उत्तर: डिज़ाइनों का कुल क्षेत्रफल ≈ 427.2 cm², लागत ≈ ₹149.52

नोट: चरण 2 में सटीक मान: त्रिज्यखंड = 1232/3 cm² और त्रिभुज = 196√3 cm², इसलिए छह डिज़ाइन = 6 × (1232/3 − 196√3) = 2464 − 1176√3 ≈ 2464 − 2036.8 = 427.2 cm²।

प्रश्न 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए: त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है — (A) (p/180) × 2πR  (B) (p/180) × πR²  (C) (p/360) × 2πR  (D) (p/720) × 2πR²

हल:

चरण 1: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (p/360) × πR² होता है।

चरण 2: विकल्प (D) को सरल करें — (p/720) × 2πR² = (p/360) × πR²। यही सूत्र है।

उत्तर: (D)

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: खंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज; कोण 60° हो तो त्रिभुज समबाहु, 90° हो तो क्षेत्रफल (1/2)r² और 120° हो तो (√3/4)r² की मदद मिलती है।

प्रश्नावली 12.3 – संयुक्त आकृतियों का क्षेत्रफल (हल सहित)

इस प्रश्नावली का सुनहरा नियम — छायांकित भाग = बड़ी आकृति का क्षेत्रफल − बिना छायांकित भागों का क्षेत्रफल। पहले चित्र देखकर तय करें कि क्या जोड़ना है और क्या घटाना है।

चित्र: 14 cm भुजा वाले वर्ग के अंदर बना वृत्त — चारों कोनों का छायांकित भाग वर्ग के क्षेत्रफल में से वृत्त का क्षेत्रफल घटाकर मिलता है (नीचे प्रश्न 3 देखें)।

प्रश्न 1. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm और O वृत्त का केंद्र है (आकृति में QR व्यास है और P वृत्त पर स्थित बिंदु है)।

हल:

चरण 1: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए ∠QPR = 90°। अतः QR = √(PQ² + PR²) = √(576 + 49) = √625 = 25 cm। यही व्यास है, इसलिए r = 12.5 cm।

चरण 2: अर्धवृत्त (QR व्यास वाला) का क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × 12.5² = 245.54 cm² (लगभग)।

चरण 3: त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = (1/2) × 24 × 7 = 84 cm²। छायांकित भाग = 245.54 − 84 = 161.54 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल ≈ 161.54 cm²

प्रश्न 2. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOB = 40° है (आकृति में छायांकित भाग वलय का वह बड़ा हिस्सा है जो 40° वाले अछायांकित त्रिज्यखंड-भाग को छोड़कर बचता है)।

हल:

चरण 1: वलय (ring) का कुल क्षेत्रफल = π(R² − r²) = (22/7) × (14² − 7²) = (22/7) × 147 = 462 cm²।

चरण 2: अछायांकित भाग 40° का वलय-खंड है, इसलिए छायांकित कोण = 360° − 40° = 320°।

चरण 3: छायांकित क्षेत्रफल = (320/360) × 462 = (8/9) × 462 = 410.67 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 1232/3 cm² ≈ 410.67 cm²

प्रश्न 3. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD 14 cm भुजा का एक वर्ग है तथा APD और BPC अर्धवृत्त हैं।

हल:

चरण 1: वर्ग का क्षेत्रफल = 14 × 14 = 196 cm²।

चरण 2: दोनों अर्धवृत्तों की त्रिज्या = 14/2 = 7 cm। दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं = (22/7) × 7² = 154 cm²।

चरण 3: छायांकित भाग = 196 − 154 = 42 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 4. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त-चाप, समबाहु त्रिभुज OAB (भुजा 12 cm) के शीर्ष O को केंद्र मानकर बनाया गया है। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: छायांकित भाग = त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल + वृत्त का वह भाग जो त्रिभुज के बाहर है = △OAB + (वृत्त − 60° का त्रिज्यखंड)।

चरण 2: △OAB (समबाहु, भुजा 12) = (√3/4) × 144 = 36√3 ≈ 62.28 cm² (√3 = 1.73)।

चरण 3: वृत्त (r = 6) = 3.14 × 36 = 113.04 cm²। त्रिज्यखंड (60°) = (60/360) × 113.04 = 18.84 cm²।

चरण 4: छायांकित = 62.28 + 113.04 − 18.84 = 156.48 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल ≈ 156.48 cm²

प्रश्न 5. 4 cm भुजा वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: वर्ग का क्षेत्रफल = 4 × 4 = 16 cm²।

चरण 2: चारों कोनों के चतुर्थांश (r = 1) मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं = 3.14 × 1² = 3.14 cm²। बीच वाला वृत्त (r = 1) भी = 3.14 cm²।

चरण 3: शेष भाग = 16 − 3.14 − 3.14 = 9.72 cm²।

उत्तर: शेष भाग का क्षेत्रफल = 9.72 cm²

प्रश्न 6. 32 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार मेज़पोश में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़कर एक डिज़ाइन बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। डिज़ाइन (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) × 32² = 22528/7 ≈ 3218.29 cm²।

चरण 2: अंतःस्थ समबाहु त्रिभुज ABC के लिए भुजा a और परित्रिज्या R में संबंध R = a/√3 होता है, इसलिए a = R√3 = 32√3 cm। (जाँच: माध्यिका = (√3/2) × a = 48 cm और R = (2/3) × 48 = 32 cm ✓)

चरण 3: त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × (32√3)² = (√3/4) × 3072 = 768√3 ≈ 768 × 1.732 = 1330.18 cm²।

चरण 4: डिज़ाइन = 3218.29 − 1330.18 = 1888.11 cm²।

उत्तर: डिज़ाइन का क्षेत्रफल ≈ 1888.11 cm²

प्रश्न 7. आकृति में, ABCD 14 cm भुजा का एक वर्ग है। A, B, C और D को केंद्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार बनाए गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो को बाह्यतः स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: हर वृत्त की त्रिज्या = वर्ग की भुजा की आधी = 7 cm। वर्ग के अंदर हर वृत्त का केवल चतुर्थांश (90° भाग) आता है।

चरण 2: चारों चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल = 4 × (1/4) × (22/7) × 49 = 154 cm²।

चरण 3: छायांकित भाग = वर्ग − चारों भाग = 196 − 154 = 42 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 8. आकृति में एक दौड़-पथ (racing track) दिखाया गया है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। दो समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 m है और प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यदि पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए: (i) पथ के आंतरिक किनारे के अनुदिश दौड़ की दूरी, (ii) पथ का क्षेत्रफल।

हल:

चरण 1: (i) आंतरिक अर्धवृत्तों की त्रिज्या = 60/2 = 30 m। आंतरिक किनारा = 2 × 106 + 2 × अर्धवृत्त की चाप-लंबाई = 212 + 2 × (22/7) × 30 = 212 + 1320/7 = 2804/7 ≈ 400.57 m।

चरण 2: (ii) पथ का क्षेत्रफल = दो सीधे भाग (106 × 10 के दो आयत) + वलय के दो अर्धवृत्त (= पूरा वलय, R = 40, r = 30)।

चरण 3: = 2 × 106 × 10 + (22/7) × (40² − 30²) = 2120 + (22/7) × 700 = 2120 + 2200 = 4320 m²।

उत्तर: (i) दूरी ≈ 400.57 m  (ii) पथ का क्षेत्रफल = 4320 m²

प्रश्न 9. आकृति में, AB और CD केंद्र O वाले वृत्त की दो परस्पर लंबवत् व्यास-रेखाएँ हैं और OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: बड़े वृत्त की त्रिज्या = 7 cm, छोटे वृत्त की त्रिज्या = 7/2 = 3.5 cm।

चरण 2: छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) × 3.5² = 38.5 cm²। बड़े वृत्त के अर्धवृत्त (ACB) का क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × 49 = 77 cm²।

चरण 3: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार AB (14) × ऊँचाई OC (7) = 49 cm²।

चरण 4: छायांकित भाग = छोटा वृत्त + अर्धवृत्त − त्रिभुज ABC = 38.5 + 77 − 49 = 66.5 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 66.5 cm²

प्रश्न 10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्त बनाया गया है, जिसकी त्रिज्या त्रिभुज की भुजा की लंबाई की आधी है। छायांकित भाग (त्रिभुज का वह भाग जो तीनों वृत्तों के बाहर है) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: पहले भुजा निकालें — (√3/4) × a² = 17320.5 ⇒ a² = 17320.5 × 4/1.732 = 40000 ⇒ a = 200 cm।

चरण 2: हर वृत्त की त्रिज्या = 200/2 = 100 cm। त्रिभुज के अंदर हर वृत्त का 60° का त्रिज्यखंड आता है।

चरण 3: तीनों त्रिज्यखंडों का योग = (180/360) × 3.14 × 100² = (1/2) × 31400 = 15700 cm²।

चरण 4: छायांकित भाग = 17320.5 − 15700 = 1620.5 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 1620.5 cm²

याद रखें: समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण 60° के होते हैं, इसलिए तीनों त्रिज्यखंड मिलकर आधा वृत्त (180°) बना देते हैं।

प्रश्न 11. एक वर्गाकार रूमाल पर, 7 cm त्रिज्या के नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बनाए गए हैं (3 × 3 की व्यवस्था में, जैसा आकृति में दिखाया गया है)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: एक पंक्ति में 3 वृत्त हैं, हर वृत्त का व्यास 14 cm, इसलिए रूमाल की भुजा = 3 × 14 = 42 cm। क्षेत्रफल = 42 × 42 = 1764 cm²।

चरण 2: नौ वृत्तों का क्षेत्रफल = 9 × (22/7) × 7² = 9 × 154 = 1386 cm²।

चरण 3: शेष भाग = 1764 − 1386 = 378 cm²।

उत्तर: शेष भाग का क्षेत्रफल = 378 cm²

प्रश्न 12. आकृति में, OACB केंद्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले वृत्त का एक चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) चतुर्थांश OACB, (ii) छायांकित भाग।

हल:

चरण 1: (i) चतुर्थांश = (1/4) × (22/7) × 3.5 × 3.5 = (1/4) × 38.5 = 9.625 cm²।

चरण 2: त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल = (1/2) × OD × OB = (1/2) × 2 × 3.5 = 3.5 cm²।

चरण 3: (ii) छायांकित भाग = चतुर्थांश − त्रिभुज ODB = 9.625 − 3.5 = 6.125 cm²।

उत्तर: (i) 9.625 cm²  (ii) 6.125 cm² (49/8 cm²)

प्रश्न 13. आकृति में, एक वर्ग OABC एक चतुर्थांश OPBQ के अंदर बना है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: वर्ग का विकर्ण OB ही चतुर्थांश की त्रिज्या है — OB = √(20² + 20²) = 20√2 cm।

चरण 2: चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × (20√2)² = (1/4) × 3.14 × 800 = 628 cm²।

चरण 3: वर्ग का क्षेत्रफल = 20 × 20 = 400 cm²। छायांकित भाग = 628 − 400 = 228 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 228 cm²

प्रश्न 14. AB और CD केंद्र O तथा क्रमशः 21 cm और 7 cm त्रिज्याओं वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के संगत चाप हैं। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग (दोनों त्रिज्यखंडों के बीच का भाग) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: छायांकित भाग = बड़े त्रिज्यखंड OAB − छोटे त्रिज्यखंड OCD (दोनों का कोण 30° है)।

चरण 2: = (30/360) × (22/7) × (21² − 7²) = (1/12) × (22/7) × 392 = 1232/12।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 308/3 cm² ≈ 102.67 cm²

प्रश्न 15. आकृति में, ABC 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश है और BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त बनाया गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: चतुर्थांश ABC का क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 14² = 154 cm²।

चरण 2: BC = √(14² + 14²) = 14√2 cm, इसलिए अर्धवृत्त की त्रिज्या = 7√2 cm और क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × (7√2)² = (1/2) × (22/7) × 98 = 154 cm²।

चरण 3: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × 14 × 14 = 98 cm²। छायांकित भाग = अर्धवृत्त + त्रिभुज − चतुर्थांश = 154 + 98 − 154 = 98 cm²।

उत्तर: छायांकित क्षेत्रफल = 98 cm²

प्रश्न 16. आकृति में दिखाए गए डिज़ाइन (दोनों चतुर्थांशों का उभयनिष्ठ भाग) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ दोनों चतुर्थांश 8 cm त्रिज्या वाले वृत्तों के हैं।

हल:

चरण 1: डिज़ाइन वाला भाग 8 cm भुजा के वर्ग के अंदर दो चतुर्थांशों के overlap से बनता है।

चरण 2: उभयनिष्ठ भाग = दोनों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल − वर्ग का क्षेत्रफल = 2 × (1/4) × (22/7) × 8² − 64।

चरण 3: = (22/7) × 32 − 64 = 704/7 − 64 = (704 − 448)/7 = 256/7 ≈ 36.57 cm²।

उत्तर: डिज़ाइन का क्षेत्रफल = 256/7 cm² ≈ 36.57 cm²

इस प्रश्नावली में हमने सीखा: छायांकित भाग के लिए पहले चित्र को “जोड़ − घटाव” में तोड़ना ही आधी हल है; चार चतुर्थांश = एक वृत्त और दो अर्धवृत्त = एक वृत्त जैसे समूह बनाना समय बचाता है।

NCERT उदाहरण – पुस्तक के मुख्य उदाहरण (हल सहित)

उदाहरण 1. त्रिज्या 4 cm और कोण 30° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: लघु त्रिज्यखंड = (30/360) × 3.14 × 4 × 4 = (1/12) × 50.24 ≈ 4.19 cm²।

चरण 2: पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = 3.14 × 16 = 50.24 cm²। दीर्घ त्रिज्यखंड = 50.24 − 4.19 = 46.05 cm²।

उत्तर: लघु त्रिज्यखंड ≈ 4.19 cm², दीर्घ त्रिज्यखंड ≈ 46.05 cm²

उदाहरण 2. वृत्त की त्रिज्या 21 cm है और ∠AOB = 120° है। वृत्त खंड AYB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)

हल:

चरण 1: त्रिज्यखंड OAB = (120/360) × (22/7) × 21² = (1/3) × 1386 = 462 cm²।

चरण 2: केंद्र O से जीवा AB पर लंब OM डालें। OM = 21 × cos 60° = 10.5 cm और AB = 2 × 21 × sin 60° = 21√3 cm। त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = (1/2) × 21√3 × 10.5 = 110.25√3 ≈ 190.95 cm²।

चरण 3: खंड AYB = 462 − 190.95 ≈ 271.05 cm²।

उत्तर: खंड का क्षेत्रफल = (462 − 110.25√3) cm² ≈ 271.05 cm²

📖 Case Study – गोलाकार बगीचे की सजावट

एक विद्यालय परिसर में 14 m त्रिज्या का एक गोलाकार बगीचा है। विद्यालय ने बगीचे के एक चौथाई भाग (चतुर्थांश) में फूलों की क्यारी बनाई है और शेष भाग में घास लगी है। (π = 22/7 लीजिए)

Q1. बगीचे की परिधि है —

(A) 44 m
(B) 88 m
(C) 132 m
(D) 616 m

Q2. पूरे बगीचे का क्षेत्रफल है —

(A) 154 m²
(B) 308 m²
(C) 616 m²
(D) 1232 m²

Q3. फूलों की क्यारी (चतुर्थांश) का क्षेत्रफल है —

(A) 154 m²
(B) 77 m²
(C) 308 m²
(D) 462 m²

Q4. घास वाले भाग का क्षेत्रफल है —

(A) 154 m²
(B) 308 m²
(C) 616 m²
(D) 462 m²

⭐ Quick Revision – Important Points और आम गलतियाँ

Important Points (दोहराने योग्य बातें)

• प्रश्न में π का जो मान दिया हो वही प्रयोग करें — 22/7 या 3.14, अपनी मर्ज़ी से न बदलें।
• चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr और त्रिज्यखंड = (θ/360) × πr² — दोनों में गुणक (θ/360) लगता है।
• वृत्त खंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज; दीर्घ खंड = पूरा वृत्त − लघु खंड।
• चतुर्थांश = 90° का त्रिज्यखंड; अर्धवृत्त की परिधि = πr + 2r।
• समान परिमाप वाली आकृतियों में वृत्त का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
• उत्तर के साथ मात्रक अवश्य लिखें — क्षेत्रफल में cm²/m² और लंबाई में cm/m।

आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• व्यास को ही त्रिज्या मान लेना — व्यास दिया हो तो पहले आधा करके त्रिज्या निकालें।
• अर्धवृत्त की परिधि में केवल πr लिखना — सीधी भुजा 2r भी जुड़ती है।
• घोड़े-रस्सी वाले प्रश्न में पूरा वृत्त लगाना — कोने पर बँधी रस्सी केवल चतुर्थांश बनाती है।
• खंड के प्रश्न में त्रिभुज घटाना भूलना — केवल त्रिज्यखंड लिख देने से उत्तर अधूरा रहता है।
• घड़ी के प्रश्न में कोण न निकालना — मिनट की सुई 1 मिनट में 6° घूमती है, पहले समय को कोण में बदलें।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• सूत्र पहले लिखें: प्रश्न शुरू करते ही प्रयोग होने वाला सूत्र लिखने से विधि (method) के अंक सुरक्षित रहते हैं।
• चित्र बनाएँ: 5 अंक वाले प्रश्न में छोटा नामांकित चित्र उत्तर को स्पष्ट करता है।
• याद रखें संख्याएँ: r = 7, 14, 21 पर क्षेत्रफल 154, 616, 1386 बार-बार आते हैं — MCQ में समय बचता है।
• गणना की जाँच: 7 से कटने वाली त्रिज्या हो तो π = 22/7 सुविधाजनक रहता है; दशमलव माप हो तो 3.14 लें।
• घड़ी की सुई और घोड़े-रस्सी वाले प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं — इनकी विधि विशेष रूप से तैयार रखें।

📝 Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले बिना देखे हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर उत्तर मिलाएँ। सभी 15 सही करने का लक्ष्य रखें!

Q1. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल है (π = 22/7) —

(A) 44 cm²
(B) 154 cm²
(C) 308 cm²
(D) 616 cm²

Q2. किसी वृत्त की परिधि 88 cm है। उसकी त्रिज्या है (π = 22/7) —

(A) 7 cm
(B) 21 cm
(C) 14 cm
(D) 28 cm

Q3. 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है (π = 22/7) —

(A) 77 cm²
(B) 154 cm²
(C) 308 cm²
(D) 616 cm²

Q4. 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° वाले चाप की लंबाई है (π = 22/7) —

(A) 22 cm
(B) 11 cm
(C) 44 cm
(D) 33 cm

Q5. 7 cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त की परिधि (परिमाप) है (π = 22/7) —

(A) 22 cm
(B) 36 cm
(C) 29 cm
(D) 44 cm

Q6. बाहरी त्रिज्या 10 cm और आंतरिक त्रिज्या 6 cm वाले वलय (Ring) का क्षेत्रफल है (π = 3.14) —

(A) 200.96 cm²
(B) 201.50 cm²
(C) 100.48 cm²
(D) 251.20 cm²

Q7. 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° कोण वाली जीवा द्वारा बना लघु खंड का क्षेत्रफल है (π = 3.14) —

(A) 78.5 cm²
(B) 50 cm²
(C) 28.5 cm²
(D) 25 cm²

Q8. यदि किसी वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हों, तो उसकी त्रिज्या है —

(A) 1 इकाई
(B) 2 इकाई
(C) 3 इकाई
(D) 4 इकाई

Q9. 35 cm त्रिज्या वाला पहिया एक पूरे चक्कर में कितनी दूरी तय करता है? (π = 22/7) —

(A) 1.1 m
(B) 2.2 m
(C) 3.3 m
(D) 4.4 m

Q10. त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सही सूत्र है —

(A) (θ/360) × 2πr
(B) πr²θ
(C) (θ/360) × πr²
(D) (1/2) × πr²

Q11. 14 cm व्यास वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है (π = 22/7) —

(A) 154 cm²
(B) 77 cm²
(C) 38.5 cm²
(D) 308 cm²

Q12. घड़ी की मिनट की सुई 1 मिनट में कितने कोण से घूमती है? —

(A) 0.5°
(B) 5°
(C) 6°
(D) 30°

Q13. दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा —

(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 3 : 2
(D) 9 : 4

Q14. 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 120° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है (π = 22/7) —

(A) 102.67 cm²
(B) 154 cm²
(C) 616 cm²
(D) 205.33 cm²

Q15. 14 cm भुजा वाले वर्ग के अंदर बने सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल है (π = 22/7) —

(A) 196 cm²
(B) 154 cm²
(C) 616 cm²
(D) 44 cm²

Answer Key – उत्तरमाला

❓ Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

1. Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles में त्रिज्यखंड (Sector) और वृत्त खंड (Segment) में क्या अंतर है?

त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा भाग होता है (जैसे पिज़्ज़ा का टुकड़ा), जबकि वृत्त खंड एक जीवा और चाप से घिरा भाग होता है। खंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है।

2. प्रश्न में π का कौन-सा मान लें — 22/7 या 3.14?

जो मान प्रश्न में दिया गया हो वही लें। यदि कुछ न दिया हो और त्रिज्या 7 की गुणज हो (7, 14, 21…) तो 22/7 सुविधाजनक रहता है, अन्यथा 3.14 लें।

3. अर्धवृत्त की परिधि πr क्यों नहीं होती?

क्योंकि अर्धवृत्त की सीमा में वक्र भाग (πr) के साथ-साथ व्यास वाली सीधी भुजा (2r) भी शामिल होती है। इसलिए अर्धवृत्त की परिधि = πr + 2r होती है — यह MCQ में बार-बार पूछा जाता है।

4. Bihar Board में इस अध्याय से कितने अंक के प्रश्न आते हैं?

पिछले वर्षों के पैटर्न के अनुसार इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के साथ 2 अंक और कभी-कभी 5 अंक का प्रश्न आता है। सूत्र आधारित अध्याय होने के कारण यह स्कोरिंग अध्याय माना जाता है।

5. छायांकित भाग वाले प्रश्नों को हल करने की सबसे आसान विधि क्या है?

पहले चित्र में बड़ी आकृति और उसमें से कटे हुए भागों को पहचानें। फिर छायांकित क्षेत्रफल = बड़ी आकृति का क्षेत्रफल − कटे भागों का क्षेत्रफल — इस एक नियम से प्रश्नावली 12.3 के लगभग सभी प्रश्न हल हो जाते हैं।

🔗 Internal Links – अन्य अध्याय भी पढ़ें

पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 11 Constructions (रचनाएँ) — रचना वाले प्रश्नों के साथ यह अध्याय ज्यामिति को पूरा करता है।

अगला अध्याय: Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) — क्षेत्रफल के बाद अब ठोस आकृतियों की बारी है।

सभी अध्याय एक साथ: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book – सभी अध्याय व PDF

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

🔚 Conclusion – निष्कर्ष

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल उन अध्यायों में से है जिनमें कम मेहनत में पूरे अंक मिल सकते हैं। आपको केवल चार मुख्य सूत्र — परिधि (2πr), क्षेत्रफल (πr²), चाप की लंबाई ((θ/360) × 2πr) और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ((θ/360) × πr²) — अच्छी तरह याद करने हैं और खंड व छायांकित भाग की विधि समझनी है।

ऊपर दिए गए सभी 35 हल किए हुए प्रश्नों का अभ्यास करें, MCQ Quiz में 15 में से कम से कम 13 सही करने का लक्ष्य रखें और फिर अगले अध्याय की ओर बढ़ें। पूरी पुस्तक के सभी अध्यायों के नोट्स, हल और PDF के लिए हमारी Class 10 Maths Book (Bihar Board) वाली पोस्ट देखें। शुभकामनाएँ, आपकी बोर्ड परीक्षा शानदार हो!