Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry NCERT Solutions in Hindi | निर्देशांक ज्यामिति – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry – निर्देशांक ज्यामिति परिचय

Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति) का बिल्कुल सरल अर्थ है – किसी बिंदु की जगह को संख्याओं से बताना। जैसे नक्शे पर कोई शहर “इतने km पूर्व, इतने km उत्तर” कहकर बताया जाता है, वैसे ही गणित में हर बिंदु को (x, y) से दिखाते हैं।

इस अध्याय में हम चार काम सीखेंगे – दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालना, किसी रेखाखंड को दिए अनुपात में बाँटने वाला बिंदु निकालना, मध्य-बिंदु निकालना और निर्देशांकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना।

Bihar Board (BSEB) Class 10 के लिए यह अध्याय बहुत scoring है। इसमें केवल 4 सूत्र हैं, इसलिए बच्चे इसे “आसान अंकों वाला अध्याय” कहते हैं। हर साल इससे वस्तुनिष्ठ (MCQ), लघु और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न आते हैं।

नीचे इस अध्याय के सभी NCERT प्रश्न – प्रश्नावली 7.1, 7.2, 7.3 और 7.4 (ऐच्छिक) – क्रम से, step-by-step हल के साथ दिए गए हैं। बिल्कुल किताब की तरह पढ़ें – एक प्रश्न, उसके चरण, और अंत में बॉक्स में उत्तर।

📋 Chapter की जानकारी

Board	Bihar Board (BSEB)
Textbook	NCERT
Class	10
Subject	Maths (गणित)
Chapter	7
Chapter Name	Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)
कुल हल किए गए प्रश्न	35 (32 अभ्यास प्रश्न + 3 NCERT उदाहरण)

📚 इस Chapter में क्या-क्या है?

1. निर्देशांक तल की मूल बातें – X-अक्ष, Y-अक्ष, मूल बिंदु, चतुर्थांश
2. प्रश्नावली 7.1 – दूरी सूत्र (Distance Formula)
3. प्रश्नावली 7.2 – विभाजन सूत्र (Section Formula) और मध्य-बिंदु सूत्र
4. प्रश्नावली 7.3 – त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)
5. प्रश्नावली 7.4 (ऐच्छिक) – मिश्रित प्रश्न
6. NCERT उदाहरण – किताब के मुख्य उदाहरण
7. Case Study – केस आधारित प्रश्न (MCQ सहित)
8. Quick Revision – मुख्य बिंदु और आम गलतियाँ
9. MCQ Quiz – अध्याय के अंत में 15 प्रश्नों से स्वयं को जाँचें

सबसे पहले – निर्देशांक तल की मूल बातें

दो परस्पर लंबवत रेखाएँ खींची जाती हैं। क्षैतिज (आड़ी) रेखा को X-अक्ष और ऊर्ध्वाधर (खड़ी) रेखा को Y-अक्ष कहते हैं।

दोनों रेखाएँ जहाँ मिलती हैं, वह मूल बिंदु (Origin) है। इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।

किसी बिंदु P के निर्देशांक (x, y) लिखे जाते हैं। इसमें x को भुज (Abscissa) और y को कोटि (Ordinate) कहते हैं।

याद रखें: निर्देशांक हमेशा पहले x, फिर y के क्रम में लिखते हैं – जैसे (3, 5) और (5, 3) दो अलग-अलग बिंदु हैं।

तल के चार भागों को चतुर्थांश (Quadrant) कहते हैं – प्रथम में (+, +), द्वितीय में (−, +), तृतीय में (−, −) और चतुर्थ में (+, −) चिह्न होते हैं।

• X-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का रूप (x, 0) होता है।
• Y-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का रूप (0, y) होता है।
• बिंदु की Y-अक्ष से दूरी = |x| और X-अक्ष से दूरी = |y| होती है।

चित्र: निर्देशांक तल (Coordinate Plane) – X-अक्ष, Y-अक्ष, मूल बिंदु O(0, 0) और चारों चतुर्थांशों में स्थित बिंदु।

📊 Important Formulas – सभी सूत्र एक साथ

1. दूरी सूत्र (Distance Formula) – दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

2. मूल बिंदु से दूरी – बिंदु (x, y) की मूल बिंदु (0, 0) से दूरी:

दूरी = √(x² + y²)

3. विभाजन सूत्र (Section Formula) – बिंदु P, A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को आंतरिक रूप से m : n अनुपात में बाँटे, तो:

P = ( (mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n) )

4. मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point Formula) – रेखाखंड के ठीक बीच का बिंदु (अनुपात 1 : 1):

मध्य-बिंदु = ( (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2 )

5. त्रिभुज का क्षेत्रफल – शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) हों, तो:

क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

6. केंद्रक (Centroid) – त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु:

G = ( (x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3 )

ध्यान दें: तीन बिंदु संरेख (Collinear) तब होते हैं जब वे एक ही सीधी रेखा पर हों। संरेख बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है – यह जाँच का सबसे आसान तरीका है।

✍️ प्रश्नावली 7.1 – दूरी सूत्र (Distance Formula)

इस प्रश्नावली का एकमात्र हथियार है – दूरी सूत्र। हर प्रश्न में पहले बिंदुओं को पहचानें, फिर सूत्र में मान रखें।

प्रश्न 1. निम्नलिखित बिंदु युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए – (i) (2, 3), (4, 1)   (ii) (−5, 7), (−1, 3)   (iii) (a, b), (−a, −b)

हल:

चरण 1: (i) में सूत्र PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] में मान रखें –

दूरी = √[(4 − 2)² + (1 − 3)²] = √[(2)² + (−2)²] = √(4 + 4) = √8

चरण 2: (ii) में मान रखें –

दूरी = √[(−1 − (−5))² + (3 − 7)²] = √[(4)² + (−4)²] = √(16 + 16) = √32

चरण 3: (iii) में मान रखें –

दूरी = √[(−a − a)² + (−b − b)²] = √[(−2a)² + (−2b)²] = √(4a² + 4b²)

✅ उत्तर: (i) 2√2 इकाई   (ii) 4√2 इकाई   (iii) 2√(a² + b²) इकाई

प्रश्न 2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। अब आप अध्याय में चर्चित दो शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

हल:

चरण 1: शहर A मूल बिंदु (0, 0) पर है और शहर B, A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर है, अर्थात B = (36, 15)।

चरण 2: मूल बिंदु से दूरी का सूत्र लगाएँ –

दूरी = √(36² + 15²) = √(1296 + 225) = √1521 = 39

✅ उत्तर: दोनों शहरों के बीच की दूरी = 39 km

प्रश्न 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेख हैं?

हल:

चरण 1: मान लीजिए A(1, 5), B(2, 3) और C(−2, −11) हैं। तीनों दूरियाँ निकालें –

AB = √[(2 − 1)² + (3 − 5)²] = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.24

चरण 2: BC = √[(−2 − 2)² + (−11 − 3)²] = √(16 + 196) = √212 ≈ 14.56

चरण 3: AC = √[(−2 − 1)² + (−11 − 5)²] = √(9 + 256) = √265 ≈ 16.28

चरण 4: जाँच करें – AB + BC ≈ 2.24 + 14.56 = 16.80, जो AC (16.28) के बराबर नहीं है। अन्य जोड़ भी बराबर नहीं आते।

✅ उत्तर: कोई भी एक दूरी शेष दो के योग के बराबर नहीं है, अतः बिंदु संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, −2), (6, 4) और (7, −2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं?

हल:

चरण 1: मान लीजिए A(5, −2), B(6, 4) और C(7, −2) हैं। AB निकालें –

AB = √[(6 − 5)² + (4 − (−2))²] = √(1 + 36) = √37

चरण 2: BC = √[(7 − 6)² + (−2 − 4)²] = √(1 + 36) = √37

चरण 3: AC = √[(7 − 5)² + (−2 − (−2))²] = √(4 + 0) = 2

चरण 4: AB = BC = √37 है, अर्थात दो भुजाएँ बराबर हैं। जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, वह समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

✅ उत्तर: हाँ, ये बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5. एक कक्षा में 4 मित्र बिंदुओं A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1) पर बैठे हैं। चंपा कहती है कि ABCD एक वर्ग है, चमेली सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का उपयोग करके बताइए कि कौन सही है?

हल:

चरण 1: चारों भुजाएँ निकालें –

AB = √[(6 − 3)² + (7 − 4)²] = √(9 + 9) = √18 = 3√2

BC = √[(9 − 6)² + (4 − 7)²] = √(9 + 9) = 3√2

CD = √[(6 − 9)² + (1 − 4)²] = √(9 + 9) = 3√2

DA = √[(3 − 6)² + (4 − 1)²] = √(9 + 9) = 3√2

चरण 2: दोनों विकर्ण निकालें –

AC = √[(9 − 3)² + (4 − 4)²] = √36 = 6

BD = √[(6 − 6)² + (1 − 7)²] = √36 = 6

चरण 3: चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं – यही वर्ग की पहचान है।

✅ उत्तर: ABCD एक वर्ग है, अतः चंपा सही है।

याद रखें: केवल चारों भुजाएँ बराबर होने से आकृति समचतुर्भुज (Rhombus) भी हो सकती है। वर्ग सिद्ध करने के लिए विकर्णों का बराबर होना भी दिखाना ज़रूरी है।

प्रश्न 6. निम्नलिखित बिंदुओं से बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है) बताइए और अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए – (i) (−1, −2), (1, 0), (−1, 2), (−3, 0)   (ii) (−3, 5), (3, 1), (0, 3), (−1, −4)   (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल (i): मान लीजिए A(−1, −2), B(1, 0), C(−1, 2), D(−3, 0) हैं।

चरण 1: AB = √[(2)² + (2)²] = √8,   BC = √[(−2)² + (2)²] = √8,   CD = √[(−2)² + (−2)²] = √8,   DA = √[(2)² + (−2)²] = √8

चरण 2: विकर्ण AC = √[(0)² + (4)²] = 4,   विकर्ण BD = √[(−4)² + (0)²] = 4

चरण 3: चारों भुजाएँ बराबर और विकर्ण भी बराबर हैं।

✅ उत्तर (i): यह एक वर्ग (Square) है।

हल (ii): मान लीजिए A(−3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(−1, −4) हैं।

चरण 1: AB = √[(6)² + (−4)²] = √52,   BC = √[(−3)² + (2)²] = √13

चरण 2: CD = √[(−1)² + (−7)²] = √50,   DA = √[(−2)² + (9)²] = √85

चरण 3: चारों भुजाएँ अलग-अलग हैं, न सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, न विकर्ण।

✅ उत्तर (ii): यह कोई विशेष चतुर्भुज नहीं है – एक सामान्य चतुर्भुज है।

हल (iii): मान लीजिए A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2) हैं।

चरण 1: AB = √[(3)² + (1)²] = √10,   BC = √[(−3)² + (−3)²] = √18

चरण 2: CD = √[(−3)² + (−1)²] = √10,   DA = √[(−3)² + (−3)²] = √18

चरण 3: विकर्ण AC = √[(0)² + (−2)²] = 2,   विकर्ण BD = √[(−6)² + (−4)²] = √52 – विकर्ण बराबर नहीं हैं।

चरण 4: सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं (AB = CD, BC = DA), परंतु विकर्ण बराबर नहीं हैं।

✅ उत्तर (iii): यह एक समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) है।

प्रश्न 7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ है।

हल:

चरण 1: समदूरस्थ का अर्थ है – दोनों बिंदुओं से बराबर दूरी पर। x-अक्ष पर स्थित बिंदु का रूप P(x, 0) होता है।

चरण 2: शर्त PA = PB लगाएँ, अर्थात PA² = PB² –

(x − 2)² + (0 − (−5))² = (x − (−2))² + (0 − 9)²

(x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81

चरण 3: विस्तार करके सरल करें –

x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81

−4x + 29 = 4x + 85   ⇒   −8x = 56   ⇒   x = −7

✅ उत्तर: अभीष्ट बिंदु = (−7, 0)

प्रश्न 8. y के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदुओं P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।

हल:

चरण 1: PQ = 10 दिया है, अर्थात PQ² = 100। सूत्र में मान रखें –

(10 − 2)² + (y − (−3))² = 100

चरण 2: 64 + (y + 3)² = 100   ⇒   (y + 3)² = 36

चरण 3: वर्गमूल लें – y + 3 = ±6

जब y + 3 = 6, तो y = 3; और जब y + 3 = −6, तो y = −9

✅ उत्तर: y = 3 या −9 (दोनों उत्तर लिखना ज़रूरी है)

प्रश्न 9. यदि Q(0, 1), बिंदुओं P(5, −3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: पहले QP निकालें –

QP = √[(5 − 0)² + (−3 − 1)²] = √(25 + 16) = √41

चरण 2: समदूरस्थ है, इसलिए QR = QP, अर्थात QR² = 41 –

(x − 0)² + (6 − 1)² = 41   ⇒   x² + 25 = 41   ⇒   x² = 16   ⇒   x = ±4

चरण 3: अतः R के दो संभव स्थान हैं – (4, 6) और (−4, 6)। दोनों के लिए QR = √41 इकाई।

चरण 4: PR निकालें – जब R(4, 6) हो:

PR = √[(5 − 4)² + (−3 − 6)²] = √(1 + 81) = √82 इकाई

जब R(−4, 6) हो:

PR = √[(5 − (−4))² + (−3 − 6)²] = √(81 + 81) = √162 = 9√2 इकाई

✅ उत्तर: x = 4 या −4; QR = √41 इकाई; PR = √82 इकाई (जब x = 4) या 9√2 इकाई (जब x = −4)

प्रश्न 10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y), बिंदुओं (3, 6) और (−3, 4) से समदूरस्थ हो।

हल:

चरण 1: मान लीजिए P(x, y), A(3, 6) और B(−3, 4) से समदूरस्थ है, अर्थात PA² = PB² –

(x − 3)² + (y − 6)² = (x + 3)² + (y − 4)²

चरण 2: दोनों पक्षों का विस्तार करें –

x² − 6x + 9 + y² − 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² − 8y + 16

चरण 3: x² और y² कट जाएँगे। शेष पदों को व्यवस्थित करें –

−6x − 12y + 45 = 6x − 8y + 25

−12x − 4y + 20 = 0   ⇒   4 से भाग देने पर: −3x − y + 5 = 0

✅ उत्तर: अभीष्ट संबंध है – 3x + y − 5 = 0

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा – दूरी सूत्र से दूरियाँ निकालना, संरेखता की जाँच, त्रिभुज-चतुर्भुज की पहचान और समदूरस्थ बिंदु ज्ञात करना।

✍️ प्रश्नावली 7.2 – विभाजन सूत्र (Section Formula)

दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर कोई बिंदु उसे किसी अनुपात में विभाजित करता है। उसी बिंदु के निर्देशांक निकालने का सूत्र ही विभाजन सूत्र है।

ध्यान दें: विभाजन सूत्र में m का गुणा हमेशा दूसरे बिंदु (x₂, y₂) से और n का गुणा पहले बिंदु (x₁, y₁) से होता है। यहीं सबसे ज़्यादा गलती होती है।

प्रश्न 1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (−1, 7) और (4, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

चरण 1: यहाँ m = 2, n = 3, (x₁, y₁) = (−1, 7) और (x₂, y₂) = (4, −3) हैं।

चरण 2: x-निर्देशांक निकालें –

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n) = (2 × 4 + 3 × (−1))/(2 + 3) = (8 − 3)/5 = 5/5 = 1

चरण 3: y-निर्देशांक निकालें –

y = (my₂ + ny₁)/(m + n) = (2 × (−3) + 3 × 7)/(2 + 3) = (−6 + 21)/5 = 15/5 = 3

✅ उत्तर: अभीष्ट बिंदु = (1, 3)

प्रश्न 2. बिंदुओं (4, −1) और (−2, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: सम-त्रिभाजन का अर्थ है – रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटना। इसके दो बिंदु होते हैं: पहला P अनुपात 1 : 2 में और दूसरा Q अनुपात 2 : 1 में बाँटता है।

चरण 2: बिंदु P (अनुपात 1 : 2) –

x = (1 × (−2) + 2 × 4)/3 = (−2 + 8)/3 = 2;   y = (1 × (−3) + 2 × (−1))/3 = (−3 − 2)/3 = −5/3

चरण 3: बिंदु Q (अनुपात 2 : 1) –

x = (2 × (−2) + 1 × 4)/3 = (−4 + 4)/3 = 0;   y = (2 × (−3) + 1 × (−1))/3 = (−6 − 1)/3 = −7/3

✅ उत्तर: सम-त्रिभाजन बिंदु = (2, −5/3) और (0, −7/3)

प्रश्न 3. खेल दिवस के कार्यक्रमों के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में चॉक-पाउडर से रेखाएँ बनाई गई हैं। निहारिका दूसरी रेखा पर AD की ¼ दूरी (25 m) दौड़कर हरा झंडा गाड़ती है। प्रीत आठवीं रेखा पर AD की ⅕ दूरी (20 m) दौड़कर लाल झंडा गाड़ती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। रश्मि को अपना नीला झंडा दोनों झंडों को जोड़ने वाले रेखाखंड के ठीक मध्य में गाड़ना है – वह झंडा कहाँ गाड़े?

हल:

चरण 1: AD = 100 m है। निहारिका का हरा झंडा दूसरी रेखा पर 25 m पर है, अर्थात उसका बिंदु = (2, 25)।

चरण 2: प्रीत का लाल झंडा आठवीं रेखा पर 20 m पर है, अर्थात उसका बिंदु = (8, 20)।

चरण 3: दोनों झंडों के बीच की दूरी, दूरी सूत्र से –

दूरी = √[(8 − 2)² + (20 − 25)²] = √(36 + 25) = √61 ≈ 7.81 m

चरण 4: रश्मि का नीला झंडा मध्य-बिंदु पर होगा –

मध्य-बिंदु = ((2 + 8)/2, (25 + 20)/2) = (5, 22.5)

✅ उत्तर: दोनों झंडों के बीच की दूरी = √61 m (लगभग 7.81 m); रश्मि नीला झंडा 5वीं रेखा पर 22.5 m की दूरी पर गाड़े।

प्रश्न 4. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु (−1, 6), बिंदुओं (−3, 10) और (6, −8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

हल:

चरण 1: मान लीजिए अनुपात k : 1 है। विभाजन सूत्र से बिंदु के निर्देशांक –

( (6k + (−3))/(k + 1), (−8k + 10)/(k + 1) )

चरण 2: यह बिंदु (−1, 6) है, इसलिए x-निर्देशांक की तुलना करें –

(6k − 3)/(k + 1) = −1   ⇒   6k − 3 = −k − 1   ⇒   7k = 2   ⇒   k = 2/7

चरण 3: जाँच (y से): (−8 × (2/7) + 10)/((2/7) + 1) = (−16/7 + 70/7)/(9/7) = (54/7)/(9/7) = 6 ✓

✅ उत्तर: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखाखंड A(1, −5) और B(−4, 5) को x-अक्ष विभाजित करता है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: विभाजन बिंदु x-अक्ष पर है, इसलिए उसका y-निर्देशांक 0 होगा। अनुपात k : 1 मानें –

y = (5k + (−5))/(k + 1) = 0   ⇒   5k − 5 = 0   ⇒   k = 1

चरण 2: अनुपात 1 : 1 आया, अर्थात विभाजन बिंदु मध्य-बिंदु ही है –

x = (1 × (−4) + 1 × 1)/(1 + 1) = (−4 + 1)/2 = −3/2

✅ उत्तर: अनुपात = 1 : 1; विभाजन बिंदु = (−3/2, 0)

चित्र: रेखाखंड AB को बिंदु P द्वारा m : n अनुपात में आंतरिक विभाजन – विभाजन सूत्र (Section Formula) की समझ के लिए।

प्रश्न 6. यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अर्थात दोनों विकर्णों के मध्य-बिंदु एक ही होते हैं।

चरण 2: विकर्ण (1, 2)–(x, 6) और (4, y)–(3, 5) हैं। x-निर्देशांकों से –

(1 + x)/2 = (4 + 3)/2   ⇒   1 + x = 7   ⇒   x = 6

चरण 3: y-निर्देशांकों से –

(2 + 6)/2 = (y + 5)/2   ⇒   8 = y + 5   ⇒   y = 3

✅ उत्तर: x = 6, y = 3

प्रश्न 7. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, −3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल:

चरण 1: व्यास का मध्य-बिंदु ही वृत्त का केंद्र होता है। मान लीजिए A = (x, y)।

चरण 2: मध्य-बिंदु सूत्र से –

(x + 1)/2 = 2   ⇒   x + 1 = 4   ⇒   x = 3

(y + 4)/2 = −3   ⇒   y + 4 = −6   ⇒   y = −10

✅ उत्तर: A = (3, −10)

प्रश्न 8. यदि A और B क्रमशः (−2, −2) और (2, −4) हैं, तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = (3/7) AB हो और P, रेखाखंड AB पर स्थित हो।

हल:

चरण 1: AP = (3/7) AB है, इसलिए PB = AB − AP = (4/7) AB। अर्थात P, AB को AP : PB = 3 : 4 अनुपात में बाँटता है।

चरण 2: विभाजन सूत्र (m = 3, n = 4) से –

x = (3 × 2 + 4 × (−2))/(3 + 4) = (6 − 8)/7 = −2/7

y = (3 × (−4) + 4 × (−2))/(3 + 4) = (−12 − 8)/7 = −20/7

✅ उत्तर: P = (−2/7, −20/7)

प्रश्न 9. बिंदुओं A(−2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: चार बराबर भागों के लिए तीन बिंदु चाहिए। इनके अनुपात क्रमशः 1 : 3, 1 : 1 (मध्य-बिंदु) और 3 : 1 होंगे।

चरण 2: पहला बिंदु (अनुपात 1 : 3) –

x = (1 × 2 + 3 × (−2))/4 = (2 − 6)/4 = −1;   y = (1 × 8 + 3 × 2)/4 = (8 + 6)/4 = 7/2

चरण 3: मध्य-बिंदु (अनुपात 1 : 1) –

x = (−2 + 2)/2 = 0;   y = (2 + 8)/2 = 5

चरण 4: तीसरा बिंदु (अनुपात 3 : 1) –

x = (3 × 2 + 1 × (−2))/4 = (6 − 2)/4 = 1;   y = (3 × 8 + 1 × 2)/4 = (24 + 2)/4 = 13/2

✅ उत्तर: तीनों बिंदु = (−1, 7/2), (0, 5) और (1, 13/2)

प्रश्न 10. एक समचतुर्भुज (Rhombus) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (−1, 4) और (−2, −1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णों का गुणनफल)]

हल:

चरण 1: मान लीजिए A(3, 0), B(4, 5), C(−1, 4), D(−2, −1) हैं। पहला विकर्ण AC निकालें –

AC = √[(−1 − 3)² + (4 − 0)²] = √(16 + 16) = √32 = 4√2

चरण 2: दूसरा विकर्ण BD निकालें –

BD = √[(−2 − 4)² + (−1 − 5)²] = √(36 + 36) = √72 = 6√2

चरण 3: क्षेत्रफल का सूत्र लगाएँ –

क्षेत्रफल = ½ × AC × BD = ½ × 4√2 × 6√2 = ½ × 48 = 24

✅ उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा – विभाजन सूत्र, मध्य-बिंदु, त्रिभाजन बिंदु, अनुपात ज्ञात करना और विकर्णों से क्षेत्रफल निकालना।

✍️ प्रश्नावली 7.3 – त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

जब त्रिभुज के तीनों शीर्षों के निर्देशांक दिए हों, तो आधार और ऊँचाई नापने की कोई ज़रूरत नहीं – सीधे क्षेत्रफल का सूत्र लगाएँ।

क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

नोट: सूत्र में | | (मापांक) इसलिए लगाते हैं क्योंकि क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। गणना में ऋणात्मक मान आए तो उसका धनात्मक मान ले लें।

प्रश्न 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं – (i) (2, 3), (−1, 0), (2, −4)   (ii) (−5, −1), (3, −5), (5, 2)

हल (i):

चरण 1: यहाँ (x₁, y₁) = (2, 3), (x₂, y₂) = (−1, 0), (x₃, y₃) = (2, −4) हैं। सूत्र में मान रखें –

क्षेत्रफल = ½ |2(0 − (−4)) + (−1)(−4 − 3) + 2(3 − 0)|

चरण 2: = ½ |2 × 4 + (−1) × (−7) + 2 × 3| = ½ |8 + 7 + 6| = ½ × 21

✅ उत्तर (i): क्षेत्रफल = 21/2 = 10.5 वर्ग इकाई

हल (ii):

चरण 1: यहाँ (x₁, y₁) = (−5, −1), (x₂, y₂) = (3, −5), (x₃, y₃) = (5, 2) हैं –

क्षेत्रफल = ½ |−5(−5 − 2) + 3(2 − (−1)) + 5(−1 − (−5))|

चरण 2: = ½ |−5 × (−7) + 3 × 3 + 5 × 4| = ½ |35 + 9 + 20| = ½ × 64

✅ उत्तर (ii): क्षेत्रफल = 32 वर्ग इकाई

प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु संरेख हों – (i) (7, −2), (5, 1), (3, k)   (ii) (8, 1), (k, −4), (2, −5)

हल (i):

चरण 1: बिंदु संरेख हैं, इसलिए उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 होगा –

½ |7(1 − k) + 5(k − (−2)) + 3(−2 − 1)| = 0

चरण 2: 7 − 7k + 5k + 10 − 9 = 0   ⇒   8 − 2k = 0   ⇒   k = 4

✅ उत्तर (i): k = 4

हल (ii):

चरण 1: क्षेत्रफल = 0 रखें –

½ |8(−4 − (−5)) + k(−5 − 1) + 2(1 − (−4))| = 0

चरण 2: 8 × 1 + k × (−6) + 2 × 5 = 0   ⇒   8 − 6k + 10 = 0   ⇒   18 = 6k   ⇒   k = 3

✅ उत्तर (ii): k = 3

प्रश्न 3. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो उस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बनता है, जिसके शीर्ष (0, −1), (2, 1) और (0, 3) हैं। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: पहले भुजाओं के मध्य-बिंदु निकालें –

(0, −1) व (2, 1) का मध्य-बिंदु = ((0 + 2)/2, (−1 + 1)/2) = (1, 0)

(2, 1) व (0, 3) का मध्य-बिंदु = ((2 + 0)/2, (1 + 3)/2) = (1, 2)

(0, 3) व (0, −1) का मध्य-बिंदु = ((0 + 0)/2, (3 − 1)/2) = (0, 1)

चरण 2: मध्य-बिंदुओं वाले छोटे त्रिभुज (1, 0), (1, 2), (0, 1) का क्षेत्रफल –

= ½ |1(2 − 1) + 1(1 − 0) + 0(0 − 2)| = ½ |1 + 1 + 0| = 1 वर्ग इकाई

चरण 3: मूल त्रिभुज (0, −1), (2, 1), (0, 3) का क्षेत्रफल –

= ½ |0(1 − 3) + 2(3 − (−1)) + 0(−1 − 1)| = ½ |0 + 8 + 0| = 4 वर्ग इकाई

चरण 4: अनुपात = 1 : 4

✅ उत्तर: छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई; अनुपात = 1 : 4

याद रखें: किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बना त्रिभुज, मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ठीक एक-चौथाई होता है।

प्रश्न 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (−4, −2), (−3, −5), (3, −2) और (2, 3) हैं।

हल:

चरण 1: चतुर्भुज ABCD को विकर्ण AC द्वारा दो त्रिभुजों △ABC और △ACD में बाँटें।

चरण 2: △ABC के शीर्ष (−4, −2), (−3, −5), (3, −2) का क्षेत्रफल –

= ½ |−4(−5 − (−2)) + (−3)(−2 − (−2)) + 3(−2 − (−5))| = ½ |12 + 0 + 9| = 21/2 वर्ग इकाई

चरण 3: △ACD के शीर्ष (−4, −2), (3, −2), (2, 3) का क्षेत्रफल –

= ½ |−4(−2 − 3) + 3(3 − (−2)) + 2(−2 − (−2))| = ½ |20 + 15 + 0| = 35/2 वर्ग इकाई

चरण 4: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 21/2 + 35/2 = 56/2 = 28

✅ उत्तर: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग इकाई

प्रश्न 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। △ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए, जिसके शीर्ष A(4, −6), B(3, −2) और C(5, 2) हैं।

हल:

चरण 1: माध्यिका (Median) वह रेखाखंड है जो शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ता है। BC का मध्य-बिंदु D निकालें –

D = ((3 + 5)/2, (−2 + 2)/2) = (4, 0)

चरण 2: △ABD के शीर्ष A(4, −6), B(3, −2), D(4, 0) का क्षेत्रफल –

= ½ |4(−2 − 0) + 3(0 − (−6)) + 4(−6 − (−2))| = ½ |−8 + 18 − 16| = ½ × 6 = 3 वर्ग इकाई

चरण 3: △ACD के शीर्ष A(4, −6), C(5, 2), D(4, 0) का क्षेत्रफल –

= ½ |4(2 − 0) + 5(0 − (−6)) + 4(−6 − 2)| = ½ |8 + 30 − 32| = ½ × 6 = 3 वर्ग इकाई

चरण 4: दोनों क्षेत्रफल बराबर (3 = 3) आए – परिणाम सत्यापित हुआ।

✅ उत्तर: सत्यापित हुआ – माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। (साथ ही △ABC का कुल क्षेत्रफल = 3 + 3 = 6 वर्ग इकाई)

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा – निर्देशांकों से त्रिभुज व चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना और क्षेत्रफल = 0 रखकर संरेखता की शर्त लगाना।

✍️ प्रश्नावली 7.4 (ऐच्छिक) – मिश्रित प्रश्न

यह प्रश्नावली ऐच्छिक है, परंतु इसके प्रश्न परीक्षाओं में घूम-फिरकर आते हैं। यहाँ इसके मुख्य प्रश्न दिए गए हैं।

प्रश्न 1. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा 2x + y − 4 = 0, बिंदुओं A(2, −2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।

हल:

चरण 1: मान लीजिए रेखा, AB को k : 1 अनुपात में बिंदु P पर काटती है। विभाजन सूत्र से –

P = ( (3k + 2)/(k + 1), (7k − 2)/(k + 1) )

चरण 2: P रेखा 2x + y − 4 = 0 पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेंगे –

2(3k + 2)/(k + 1) + (7k − 2)/(k + 1) − 4 = 0

चरण 3: (k + 1) से गुणा करके सरल करें –

2(3k + 2) + (7k − 2) − 4(k + 1) = 0

6k + 4 + 7k − 2 − 4k − 4 = 0   ⇒   9k − 2 = 0   ⇒   k = 2/9

✅ उत्तर: अभीष्ट अनुपात = 2 : 9

प्रश्न 2. यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेख हैं, तो x और y में संबंध ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: संरेखता के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 रखें –

½ |x(2 − 0) + 1(0 − y) + 7(y − 2)| = 0

चरण 2: 2x − y + 7y − 14 = 0   ⇒   2x + 6y − 14 = 0

चरण 3: 2 से भाग देने पर –

✅ उत्तर: अभीष्ट संबंध है – x + 3y − 7 = 0

प्रश्न 3. बिंदुओं (6, −6), (3, −7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: मान लीजिए केंद्र O(x, y) है। केंद्र, वृत्त पर स्थित हर बिंदु से समदूरस्थ होता है। पहले (6, −6) और (3, 3) से बराबर दूरी की शर्त लगाएँ –

(x − 6)² + (y + 6)² = (x − 3)² + (y − 3)²

सरल करने पर: x − 3y − 9 = 0   …(i)

चरण 2: अब (6, −6) और (3, −7) से बराबर दूरी की शर्त लगाएँ –

(x − 6)² + (y + 6)² = (x − 3)² + (y + 7)²

सरल करने पर: 3x + y − 7 = 0   …(ii)

चरण 3: (i) से x = 3y + 9 लें और (ii) में रखें –

3(3y + 9) + y − 7 = 0   ⇒   9y + 27 + y − 7 = 0   ⇒   10y = −20   ⇒   y = −2

x = 3 × (−2) + 9 = 3

✅ उत्तर: वृत्त का केंद्र = (3, −2)

प्रश्न 4. एक वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (−1, 2) और (3, 2) हैं। अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: दिए गए शीर्ष विकर्ण के सिरे हैं। विकर्ण का मध्य-बिंदु निकालें –

मध्य-बिंदु = ((−1 + 3)/2, (2 + 2)/2) = (1, 2)

चरण 2: विकर्ण की लंबाई = 3 − (−1) = 4, इसलिए आधा विकर्ण = 2।

चरण 3: वर्ग के विकर्ण बराबर और परस्पर लंबवत होते हैं। दिया गया विकर्ण क्षैतिज (X-अक्ष की दिशा में) है, इसलिए दूसरा विकर्ण ऊर्ध्वाधर होगा और वह मध्य-बिंदु (1, 2) से ऊपर-नीचे 2 इकाई पर होगा।

ऊपर का शीर्ष = (1, 2 + 2) = (1, 4);   नीचे का शीर्ष = (1, 2 − 2) = (1, 0)

✅ उत्तर: अन्य दो शीर्ष = (1, 4) और (1, 0)

प्रश्न 5. बिंदुओं A(5, 2), B(4, 7) और C(7, −4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखें –

क्षेत्रफल = ½ |5(7 − (−4)) + 4(−4 − 2) + 7(2 − 7)|

चरण 2: = ½ |5 × 11 + 4 × (−6) + 7 × (−5)| = ½ |55 − 24 − 35| = ½ × |−4|

✅ उत्तर: क्षेत्रफल = 2 वर्ग इकाई

प्रश्न 6. वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(5, 1), B(−3, −7) और C(7, −1) से समदूरस्थ है।

हल:

चरण 1: मान लीजिए बिंदु P(x, y) है। A और C से समदूरस्थ होने पर (PA² = PC²) –

(x − 5)² + (y − 1)² = (x − 7)² + (y + 1)²

सरल करने पर: x − y − 6 = 0   …(i)

चरण 2: A और B से समदूरस्थ होने पर (PA² = PB²) –

(x − 5)² + (y − 1)² = (x + 3)² + (y + 7)²

सरल करने पर: x + y + 2 = 0   …(ii)

चरण 3: (i) से y = x − 6 लें और (ii) में रखें –

x + (x − 6) + 2 = 0   ⇒   2x = 4   ⇒   x = 2,   y = 2 − 6 = −4

✅ उत्तर: अभीष्ट बिंदु = (2, −4) (यह तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है)

प्रश्न 7. बिंदुओं P(−1.5, 3), Q(6, −2) और R(−3, 4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखें –

क्षेत्रफल = ½ |−1.5(−2 − 4) + 6(4 − 3) + (−3)(3 − (−2))|

चरण 2: = ½ |−1.5 × (−6) + 6 × 1 + (−3) × 5| = ½ |9 + 6 − 15| = ½ × 0 = 0

चरण 3: क्षेत्रफल शून्य आया, इसका अर्थ है कि तीनों बिंदु एक ही रेखा पर हैं – त्रिभुज बना ही नहीं।

✅ उत्तर: क्षेत्रफल = 0; तीनों बिंदु संरेख हैं, इसलिए कोई त्रिभुज नहीं बनता।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा – पुराने सभी सूत्रों को मिलाकर कठिन प्रश्न हल करना: रेखा द्वारा विभाजन, वृत्त का केंद्र और वर्ग के शीर्ष।

📖 NCERT उदाहरण (Examples)

किताब के ये उदाहरण परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण हैं – इन्हें ध्यान से पढ़ें।

उदाहरण 1. क्या बिंदु (3, 2), (−2, −3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो त्रिभुज का प्रकार बताइए।

हल:

चरण 1: मान लीजिए P(3, 2), Q(−2, −3) और R(2, 3) हैं। तीनों दूरियाँ निकालें –

PQ = √[(−2 − 3)² + (−3 − 2)²] = √(25 + 25) = √50 ≈ 7.07

QR = √[(2 − (−2))² + (3 − (−3))²] = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.21

RP = √[(3 − 2)² + (2 − 3)²] = √(1 + 1) = √2 ≈ 1.41

चरण 2: जाँच करें – √2 + √50 ≈ 1.41 + 7.07 = 8.48, जो QR (7.21) से बड़ा है। किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा है, इसलिए त्रिभुज बनता है।

चरण 3: जाँच करें कि कहीं यह समकोण त्रिभुज तो नहीं – PQ² + RP² = 50 + 2 = 52 = QR²। पाइथागोरस की शर्त पूरी होती है।

✅ उत्तर: हाँ, बिंदु त्रिभुज बनाते हैं और यह Q पर समकोण त्रिभुज है (कर्ण = QR)।

उदाहरण 2. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें y-अक्ष, बिंदुओं (5, −6) और (−1, −4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है। विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: मान लीजिए y-अक्ष इस रेखाखंड को k : 1 अनुपात में बिंदु P पर काटती है। y-अक्ष पर x = 0 होता है –

x = (k × (−1) + 1 × 5)/(k + 1) = 0   ⇒   −k + 5 = 0   ⇒   k = 5

चरण 2: अब y-निर्देशांक निकालें –

y = (k × (−4) + 1 × (−6))/(k + 1) = (5 × (−4) − 6)/6 = −26/6 = −13/3

✅ उत्तर: अनुपात = 5 : 1; विभाजन बिंदु = (0, −13/3)

उदाहरण 3. एक त्रिभुज PQR का शीर्ष Q(3, 2) है और Q से होकर जाने वाली भुजाओं के मध्य-बिंदु (2, −1) और (1, 2) हैं। त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: मान लीजिए P(x₁, y₁) है और भुजा QP का मध्य-बिंदु (2, −1) है –

(x₁ + 3)/2 = 2 ⇒ x₁ = 1;   (y₁ + 2)/2 = −1 ⇒ y₁ = −4   ⇒   P = (1, −4)

चरण 2: मान लीजिए R(x₂, y₂) है और भुजा QR का मध्य-बिंदु (1, 2) है –

(x₂ + 3)/2 = 1 ⇒ x₂ = −1;   (y₂ + 2)/2 = 2 ⇒ y₂ = 2   ⇒   R = (−1, 2)

चरण 3: अब तीनों शीर्ष P(1, −4), Q(3, 2), R(−1, 2) से क्षेत्रफल निकालें –

क्षेत्रफल = ½ |1(2 − 2) + 3(2 − (−4)) + (−1)(−4 − 2)| = ½ |0 + 18 + 6| = ½ × 24

✅ उत्तर: △PQR का क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई

📖 Case Study – केस आधारित प्रश्न

केस पढ़ें: रोहन के शहर का नक्शा एक निर्देशांक तल पर बना है। उसके घर के निर्देशांक (2, 3) हैं, विद्यालय (8, 3) पर है, बाज़ार (8, 11) पर है और पार्क (2, 11) पर है। सभी दूरियाँ km में हैं। निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए –

Q1. रोहन के घर से विद्यालय की दूरी कितनी है? —

(A) 5 km
(B) 6 km
(C) 8 km
(D) 10 km

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 6 km – दोनों बिंदुओं के y-निर्देशांक समान हैं, दूरी = 8 − 2 = 6 km।

Q2. विद्यालय से बाज़ार की दूरी कितनी है? —

(A) 5 km
(B) 6 km
(C) 8 km
(D) 14 km

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 8 km – दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांक समान हैं, दूरी = 11 − 3 = 8 km।

Q3. घर और बाज़ार को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु क्या है? —

(A) (5, 7)
(B) (5, 14)
(C) (10, 14)
(D) (4, 7)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) (5, 7) – मध्य-बिंदु = ((2 + 8)/2, (3 + 11)/2) = (5, 7)।

Q4. चारों स्थानों को क्रम से जोड़ने पर बने आयत का क्षेत्रफल कितना है? —

(A) 24 वर्ग km
(B) 28 वर्ग km
(C) 40 वर्ग km
(D) 48 वर्ग km

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) 48 वर्ग km – लंबाई 6 km और चौड़ाई 8 km है, क्षेत्रफल = 6 × 8 = 48 वर्ग km।

⭐ Quick Revision – मुख्य बिंदु

• दूरी सूत्र में घटाव का क्रम उलटने से उत्तर नहीं बदलता, क्योंकि अंत में वर्ग होता है।
• x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) और y-अक्ष पर बिंदु (0, y) – “समदूरस्थ” वाले प्रश्नों की यही कुंजी है।
• तीन बिंदुओं की संरेखता जाँचने के दो तरीके हैं – (1) दूरियों के योग की जाँच, (2) क्षेत्रफल = 0। क्षेत्रफल वाली विधि तेज़ और सुरक्षित है।
• वर्ग सिद्ध करने के लिए: चारों भुजाएँ बराबर + विकर्ण बराबर। समचतुर्भुज के लिए: चारों भुजाएँ बराबर + विकर्ण असमान। समांतर चतुर्भुज के लिए: सम्मुख भुजाएँ बराबर।
• मध्य-बिंदुओं से बना त्रिभुज, मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ¼ होता है।
• वृत्त का केंद्र, उस पर स्थित सभी बिंदुओं से समदूरस्थ होता है।
• वर्गमूल हमेशा सरल रूप में लिखें – √8 = 2√2, √32 = 4√2।

⚠️ आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• विभाजन सूत्र में अनुपात उल्टा रखना – m का गुणा दूसरे बिंदु से होता है, पहले से नहीं। यह इस अध्याय की सबसे बड़ी गलती है।
• (−) चिह्न की गलती – घटाव करते समय कोष्ठक लगाकर लिखें, जैसे −(−6) = +6। अधिकतर अंक इसी से कटते हैं।
• दो उत्तर वाले प्रश्नों में एक उत्तर छोड़ना – जैसे y = 3 या −9, x = 4 या −4। दोनों उत्तर लिखना अनिवार्य है।
• क्षेत्रफल में ½ भूलना या ऋणात्मक क्षेत्रफल लिख देना – क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है।
• वर्ग और समचतुर्भुज में भ्रम – केवल भुजाएँ जाँचकर वर्ग घोषित न करें, विकर्ण ज़रूर जाँचें।
• इकाई न लिखना – दूरी में इकाई/km और क्षेत्रफल में वर्ग इकाई लिखना न भूलें।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• Objective प्रश्नों की तैयारी: BSEB में लगभग आधे प्रश्न वस्तुनिष्ठ होते हैं। दूरी सूत्र और मध्य-बिंदु के छोटे प्रश्न हर साल आते हैं – चारों सूत्र मुँहज़बानी याद रखें।
• Step marking का लाभ उठाएँ: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न में सूत्र लिखने, मान रखने और गणना करने – हर step के अंक मिलते हैं। अंतिम उत्तर गलत भी हो जाए तो सही विधि के अंक मिल जाते हैं, इसलिए हल कभी अधूरा न छोड़ें।
• रफ चित्र बनाएँ: चतुर्भुज वाले प्रश्नों में rough चित्र बना लेने से आकृति और क्रम समझने में मदद मिलती है।
• बार-बार आने वाले प्रश्न: समदूरस्थ बिंदु, सम-त्रिभाजन बिंदु, संरेखता (k का मान) और माध्यिका का सत्यापन – इन्हें विशेष रूप से तैयार करें।

📝 Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

नीचे दिए 15 प्रश्न Bihar Board के exam pattern पर हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” से जाँचें।

Q1. बिंदु (3, 4) की मूल बिंदु से दूरी है —

(A) 3 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 5 इकाई
(D) 7 इकाई

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 5 इकाई – दूरी = √(3² + 4²) = √25 = 5।

Q2. बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी है —

(A) 2 इकाई
(B) 2√2 इकाई
(C) √10 इकाई
(D) 4 इकाई

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 2√2 इकाई – √[(2)² + (−2)²] = √8 = 2√2।

Q3. बिंदु (−4, 0) किस अक्ष पर स्थित है? —

(A) X-अक्ष
(B) Y-अक्ष
(C) मूल बिंदु पर
(D) किसी अक्ष पर नहीं

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) X-अक्ष – यहाँ y = 0 है, इसलिए बिंदु X-अक्ष पर है।

Q4. बिंदुओं (1, 2) और (3, 4) का मध्य-बिंदु है —

(A) (2, 3)
(B) (4, 6)
(C) (1, 1)
(D) (2, 2)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) (2, 3) – ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3)।

Q5. बिंदु (x, y) की Y-अक्ष से दूरी होती है —

(A) y
(B) |x|
(C) x + y
(D) √(x² + y²)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) |x| – Y-अक्ष से दूरी भुज (x) के बराबर होती है।

Q6. बिंदुओं (0, 0) और (6, 8) के बीच की दूरी है —

(A) 14 इकाई
(B) 12 इकाई
(C) 10 इकाई
(D) 8 इकाई

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 10 इकाई – √(36 + 64) = √100 = 10।

Q7. बिंदुओं (−1, 7) और (4, −3) को 2 : 3 अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है —

(A) (3, 1)
(B) (1, 3)
(C) (0, 3)
(D) (1, 1)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) (1, 3) – विभाजन सूत्र से x = 1, y = 3 आता है।

Q8. तीन बिंदु संरेख होंगे, यदि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल हो —

(A) 1 वर्ग इकाई
(B) धनात्मक
(C) ऋणात्मक
(D) 0 (शून्य)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) 0 (शून्य) – एक ही रेखा पर स्थित बिंदुओं से त्रिभुज नहीं बनता।

Q9. शीर्षों (0, 0), (4, 0) और (0, 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है —

(A) 12 वर्ग इकाई
(B) 6 वर्ग इकाई
(C) 7 वर्ग इकाई
(D) 24 वर्ग इकाई

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 6 वर्ग इकाई – ½ × आधार 4 × ऊँचाई 3 = 6।

Q10. बिंदु (5, −3) किस चतुर्थांश में स्थित है? —

(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) चतुर्थ – यहाँ x धनात्मक और y ऋणात्मक है।

Q11. बिंदुओं (−2, 3) और (4, 3) के बीच की दूरी है —

(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 6 इकाई
(D) 8 इकाई

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 6 इकाई – दोनों के y समान हैं, दूरी = |4 − (−2)| = 6।

Q12. त्रिभुज के शीर्ष (1, 2), (4, 6) और (7, 2) हों, तो केंद्रक (Centroid) है —

(A) (4, 10/3)
(B) (12, 10)
(C) (3, 3)
(D) (4, 4)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) (4, 10/3) – ((1 + 4 + 7)/3, (2 + 6 + 2)/3) = (4, 10/3)।

Q13. बिंदुओं (a, 0) और (0, b) का मध्य-बिंदु है —

(A) (a + b, 0)
(B) (a/2, b/2)
(C) (0, 0)
(D) (a, b)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) (a/2, b/2) – मध्य-बिंदु सूत्र से सीधे आता है।

Q14. किसी रेखाखंड का मध्य-बिंदु (2, −1) है। यदि उसका एक सिरा (−3, 5) हो, तो दूसरा सिरा है —

(A) (7, −7)
(B) (−7, 7)
(C) (1, 4)
(D) (7, 7)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) (7, −7) – दूसरा सिरा = (2 × 2 − (−3), 2 × (−1) − 5) = (7, −7)।

Q15. यदि दो बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य हो, तो वे बिंदु हैं —

(A) मूल बिंदु पर
(B) संपाती (एक ही बिंदु)
(C) संरेख
(D) अक्ष पर

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) संपाती – दूरी शून्य का अर्थ है दोनों बिंदु एक ही स्थान पर हैं।

✅ Answer Key – MCQ Quiz (Chapter 7)

प्रश्न	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6	Q7	Q8	Q9	Q10	Q11	Q12	Q13	Q14	Q15
उत्तर	C	B	A	A	B	C	B	D	B	D	C	A	B	A	B

❓ Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

प्रश्न 1. Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry से Bihar Board Class 10 की परीक्षा में कितने अंक के प्रश्न आते हैं?

हर वर्ष इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ प्रश्नों सहित अच्छे अंक के प्रश्न आते हैं। केवल 4 सूत्रों पर आधारित होने से यह कम समय में पूरे अंक देने वाला अध्याय है।

प्रश्न 2. दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र में सबसे आम गलती क्या होती है?

दूरी सूत्र में चिह्नों की गलती और विभाजन सूत्र में अनुपात m : n को उल्टा रख देना – ये दो गलतियाँ सबसे आम हैं। याद रखें, विभाजन सूत्र में m का गुणा दूसरे बिंदु (x₂, y₂) से होता है।

प्रश्न 3. तीन बिंदुओं की संरेखता जाँचने का सबसे आसान तरीका कौन-सा है?

सबसे आसान तरीका है – तीनों बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना। क्षेत्रफल शून्य आए तो बिंदु संरेख हैं, वरना नहीं। यह विधि दूरी वाली विधि से तेज़ है।

प्रश्न 4. क्या इस अध्याय में चित्र (Graph) बनाना अनिवार्य है?

नहीं, अधिकांश प्रश्न गणना से ही हल हो जाते हैं। परंतु चतुर्भुज वाले प्रश्नों में rough चित्र बना लेने से आकृति समझने में मदद मिलती है।

प्रश्न 5. Class 10 Math Chapter 7 की तैयारी के लिए NCERT के अलावा क्या पढ़ें?

पहले NCERT की सभी प्रश्नावलियों के प्रश्न स्वयं हल करें, फिर पिछले वर्षों के BSEB प्रश्न-पत्रों से इस अध्याय के प्रश्न समय-सीमा में हल करें। ऊपर दिया MCQ Quiz भी तैयारी जाँचने में मदद करेगा।

🔗 पिछले और अगले अध्याय भी पढ़ें

गणित की पूरी तैयारी के लिए सभी अध्याय क्रम से पढ़ें। पूरी किताब और सभी अध्यायों की सूची यहाँ उपलब्ध है – NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book।

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

⬅️ पिछला अध्याय	Class 10 Math Chapter 6 Triangles (त्रिभुज) – NCERT Solutions in Hindi
➡️ अगला अध्याय	Class 10 Math Chapter 8 Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय) – NCERT Solutions in Hindi

🔚 निष्कर्ष (Conclusion)

इस लेख में हमने Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry के चारों सूत्र समझे और NCERT की सभी प्रश्नावलियों (7.1 से 7.4) के प्रश्न step-by-step हल किए। अंत में दिए 15 MCQ से आपने अपनी तैयारी भी जाँच ली होगी।

याद रखिए, इस अध्याय में सफलता का एक ही मंत्र है – सूत्र सही + चिह्नों का ध्यान + पर्याप्त अभ्यास। यदि आपने इस लेख के सभी प्रश्न स्वयं करके देख लिए हैं, तो Bihar Board की परीक्षा में इस अध्याय का कोई भी प्रश्न आपको नहीं रोक पाएगा।

📥 PDF की सुविधा: पूरी NCERT किताब का PDF और सभी अध्यायों के नोट्स के लिए NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book पोस्ट देखें।

अगला कदम: अब Class 10 Math Chapter 8 Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय) पढ़ें – यह इस वर्ष का एक और अत्यंत महत्वपूर्ण और scoring अध्याय है। शुभकामनाएँ!