Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables NCERT Solutions in Hindi | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables अर्थात दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Bihar Board (BSEB) Class 10 गणित का एक बहुत महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय से बोर्ड परीक्षा में हर साल निश्चित प्रश्न आते हैं। कभी ग्राफ विधि से प्रश्न आता है, कभी प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से, और कभी आयु, संख्या या रुपये-पैसे पर आधारित शब्द-प्रश्न आता है।

अच्छी बात यह है कि यह अध्याय पूरी तरह नियमों पर आधारित है। विधियाँ एक बार समझ आ जाएँ, तो पूरे अंक मिलते हैं।

इस लेख में आपको प्रश्नावली 3.1 से 3.6 तक के सभी प्रश्नों के step-by-step हल मिलेंगे। साथ में NCERT उदाहरण, एक Case Study, Quick Revision और अंत में 15 MCQ का Quiz भी मिलेगा। हर हल बिल्कुल किताब (NCERT) की शैली में, छोटे-छोटे चरणों में समझाया गया है।

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📋 Chapter 3 — एक नज़र में (Jaankari Table)

Board	Bihar Board (BSEB)
Textbook	NCERT
Class	10
Subject	Maths (गणित)
Chapter	3
Chapter Name	Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
कुल हल किए गए प्रश्न	69 (सभी प्रश्नावलियों के प्रश्न व उप-भाग) + 7 NCERT उदाहरण

📑 इस Chapter में क्या-क्या है?

1. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — परिचय और बीजगणितीय निरूपण
2. प्रश्नावली 3.1 — समीकरण बनाना और ग्राफ द्वारा दर्शाना
3. ग्राफीय विधि (Graphical Method) और युग्म की संगतता (Consistency)
4. प्रश्नावली 3.2 — ग्राफीय हल और अनुपातों की तुलना
5. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
6. प्रश्नावली 3.3 — प्रतिस्थापन विधि से हल व शब्द-प्रश्न
7. विलोपन विधि (Elimination Method)
8. प्रश्नावली 3.4 — विलोपन विधि से हल व शब्द-प्रश्न
9. वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)
10. प्रश्नावली 3.5 — वज्र-गुणन व विविध प्रश्न
11. समीकरणों को रैखिक युग्म में बदलना (Reducible Equations)
12. प्रश्नावली 3.6 — रैखिक रूप में बदलकर हल करना
13. NCERT उदाहरण (Examples) — संक्षिप्त हल सहित
14. Case Study — केस आधारित प्रश्न (Competency Based)
15. Quick Revision — महत्वपूर्ण बिंदु और आम गलतियाँ
16. Bihar Board Exam Tips
17. MCQ Quiz — 15 प्रश्न (अध्याय के अंत में)
18. FAQ — अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

पहले मूल बात समझें: दो चरों x और y में रैखिक समीकरण का सामान्य रूप होता है —

ऐसे दो समीकरणों को मिलाकर रैखिक समीकरण युग्म बनता है:

📊 Important Formulas — समीकरण युग्म की तीन स्थितियाँ

यह एक table इस अध्याय की जान है। केवल अनुपातों की तुलना करके, बिना हल किए, बताया जा सकता है कि युग्म का हल कैसा होगा।

शर्त	हल	ग्राफ	संगतता
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	एक अद्वितीय हल	प्रतिच्छेदी रेखाएँ	संगत (Consistent)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	कोई हल नहीं	समांतर रेखाएँ	असंगत (Inconsistent)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	अनंत हल	संपाती रेखाएँ	संगत — आश्रित युग्म

याद रखें: “संगत” का अर्थ है — युग्म का कम से कम एक हल है। “असंगत” का अर्थ है — कोई हल नहीं है।

वज्र-गुणन विधि का सूत्र (Cross-Multiplication Formula)

अर्थात x = (b₁c₂ − b₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁) और y = (c₁a₂ − c₂a₁) / (a₁b₂ − a₂b₁), बशर्ते a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 हो।

चारों विधियाँ — कब कौन-सी?

• ग्राफीय विधि: दोनों रेखाएँ खींचकर प्रतिच्छेदन बिंदु पढ़ते हैं।
• प्रतिस्थापन विधि: एक चर का मान दूसरे के रूप में निकालकर दूसरे समीकरण में रखते हैं।
• विलोपन विधि: गुणांक बराबर करके एक चर को जोड़/घटाकर ख़त्म करते हैं।
• वज्र-गुणन विधि: सीधे सूत्र से हल निकालते हैं।

✏️ प्रश्नावली 3.1 — समीकरण बनाना और ग्राफ द्वारा दर्शाना

इस प्रश्नावली में हम रोज़मर्रा की स्थितियों को समीकरण युग्म में बदलना और उसे ग्राफ पर दर्शाना सीखते हैं।

प्रश्न 1. आफताब और उसकी पुत्री की आयु

प्रश्न: आफताब अपनी पुत्री से कहता है — “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुना बड़ा था। अब से तीन वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुना बड़ा रहूँगा।” इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ग्राफीय रूप से निरूपित कीजिए।

हल:

चरण 1: माना आफताब की वर्तमान आयु = x वर्ष और पुत्री की वर्तमान आयु = y वर्ष।

चरण 2: सात वर्ष पूर्व दोनों की आयु (x − 7) और (y − 7) थी। शर्त से —
x − 7 = 7(y − 7) ⟹ x − 7y = −42 …(i)

चरण 3: तीन वर्ष बाद दोनों की आयु (x + 3) और (y + 3) होगी। शर्त से —
x + 3 = 3(y + 3) ⟹ x − 3y = 6 …(ii)

चरण 4 (ग्राफ के लिए बिंदु): समीकरण (i) से x = 7y − 42, बिंदु: (0, 6), (7, 7), (14, 8)।
समीकरण (ii) से x = 3y + 6, बिंदु: (6, 0), (12, 2), (42, 12)।

चरण 5: दोनों रेखाएँ खींचने पर वे बिंदु (42, 12) पर मिलती हैं।

प्रश्न 2. क्रिकेट टीम के बल्ले और गेंदें

प्रश्न: एक क्रिकेट टीम की कोच 3 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3900 में खरीदती है। बाद में वह एक और बल्ला तथा 3 और गेंदें ₹1300 में खरीदती है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए।

हल:

चरण 1: माना एक बल्ले का मूल्य = ₹x और एक गेंद का मूल्य = ₹y।

चरण 2: पहली खरीद से — 3x + 6y = 3900, अर्थात x + 2y = 1300 …(i)

चरण 3: दूसरी खरीद से — x + 3y = 1300 …(ii)

चरण 4 (ग्राफ के लिए बिंदु): समीकरण (i) के बिंदु: (100, 600), (300, 500), (500, 400)।
समीकरण (ii) के बिंदु: (100, 400), (400, 300), (700, 200)।

प्रश्न 3. सेब और अंगूर का मूल्य

प्रश्न: 2 kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹160 था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य ₹300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए।

हल:

चरण 1: माना 1 kg सेब का मूल्य = ₹x और 1 kg अंगूर का मूल्य = ₹y।

चरण 2: पहली स्थिति से — 2x + y = 160 …(i)

चरण 3: दूसरी स्थिति से — 4x + 2y = 300 …(ii)

चरण 4 (ग्राफ के लिए बिंदु): समीकरण (i) के बिंदु: (20, 120), (40, 80), (60, 40)।
समीकरण (ii) से 2x + y = 150, बिंदु: (25, 100), (50, 50), (75, 0)।

चरण 5: ग्राफ खींचने पर दोनों रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर आती हैं, अर्थात वे कहीं नहीं मिलतीं।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: शब्द-प्रश्न को पहले “माना” लिखकर दो समीकरणों में बदलना और फिर बिंदु निकालकर ग्राफ पर दर्शाना।

✏️ प्रश्नावली 3.2 — ग्राफीय विधि और संगतता

प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए

(i) प्रश्न: कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है। लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना लड़कियाँ = x, लड़के = y। तब x + y = 10 …(i) और x − y = 4 …(ii)

चरण 2 (बिंदु): (i) के बिंदु: (4, 6), (5, 5), (6, 4)। (ii) के बिंदु: (4, 0), (5, 1), (7, 3)।

चरण 3: दोनों रेखाएँ बिंदु (7, 3) पर काटती हैं।

(ii) प्रश्न: 5 पेंसिलों और 7 पेनों का मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 पेनों का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल और एक पेन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना पेंसिल = ₹x, पेन = ₹y। तब 5x + 7y = 50 …(i) और 7x + 5y = 46 …(ii)

चरण 2 (बिंदु): (i) के बिंदु: (10, 0), (3, 5), (−4, 10)। (ii) के बिंदु: (3, 5), (8, −2), (−2, 12)।

चरण 3: दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 5) पर काटती हैं।

(iii) प्रश्न: चंपा एक ‘सेल’ में कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदती है। उसने बताया — स्कर्टों की संख्या खरीदी गई पैंटों की संख्या के दोगुने से 2 कम है, और स्कर्टों की संख्या पैंटों की संख्या के चार गुने से 4 कम भी है। पैंट और स्कर्ट की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना पैंट = x, स्कर्ट = y। तब y = 2x − 2 …(i) और y = 4x − 4 …(ii)

चरण 2 (बिंदु): (i) के बिंदु: (0, −2), (1, 0), (2, 2)। (ii) के बिंदु: (0, −4), (1, 0), (2, 4)।

चरण 3: दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 0) पर काटती हैं।

प्रश्न 2. अनुपातों की तुलना करके बताइए कि रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती हैं

(i) 5x − 4y + 8 = 0; 7x + 6y − 9 = 0

हल: a₁/a₂ = 5/7 और b₁/b₂ = −4/6 = −2/3। दोनों बराबर नहीं हैं (5/7 ≠ −2/3)।

(ii) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0

हल: a₁/a₂ = 9/18 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 12/24 = 1/2। तीनों अनुपात बराबर हैं।

(iii) 6x − 3y + 10 = 0; 2x − y + 9 = 0

हल: a₁/a₂ = 6/2 = 3, b₁/b₂ = −3/−1 = 3, c₁/c₂ = 10/9। यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

प्रश्न 3. अनुपातों की तुलना करके बताइए कि युग्म संगत है या असंगत

(i) 3x + 2y = 5; 2x − 3y = 7

हल: a₁/a₂ = 3/2, b₁/b₂ = 2/−3 = −2/3। अनुपात बराबर नहीं हैं।

(ii) 2x − 3y = 8; 4x − 6y = 9

हल: a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = 8/9। यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7; 9x − 10y = 14

हल: a₁/a₂ = (3/2)/9 = 1/6, b₁/b₂ = (5/3)/(−10) = −1/6। अनुपात बराबर नहीं हैं।

(iv) 5x − 3y = 11; −10x + 6y = −22

हल: a₁/a₂ = 5/−10 = −1/2, b₁/b₂ = −3/6 = −1/2, c₁/c₂ = −11/22 = −1/2। तीनों अनुपात बराबर हैं।

(v) (4/3)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12

हल: a₁/a₂ = (4/3)/2 = 2/3, b₁/b₂ = 2/3, c₁/c₂ = −8/−12 = 2/3। तीनों अनुपात बराबर हैं।

प्रश्न 4. निम्न युग्म संगत हैं या असंगत? संगत होने पर ग्राफीय हल भी दीजिए

(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10

हल: अनुपात 1/2, 1/2, 1/2 — तीनों बराबर हैं। दूसरा समीकरण पहले का ही दोगुना है। ग्राफ में दोनों की एक ही रेखा बनेगी, जिसके बिंदु हैं: (0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)।

(ii) x − y = 8; 3x − 3y = 16

हल: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = 1/3, परंतु c₁/c₂ = −8/−16 = 1/2। यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

(iii) 2x + y − 6 = 0; 4x − 2y − 4 = 0

हल:

चरण 1: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 1/−2 = −1/2। अनुपात बराबर नहीं हैं, अतः युग्म संगत है।

चरण 2 (बिंदु): 2x + y = 6 के बिंदु: (0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0)। 4x − 2y = 4 के बिंदु: (0, −2), (1, 0), (2, 2), (3, 4)।

चरण 3: दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 2) पर काटती हैं।

(iv) 2x − 2y − 2 = 0; 4x − 4y − 5 = 0

हल: a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, परंतु c₁/c₂ = −2/−5 = 2/5। यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

प्रश्न 5. बाग़ की लंबाई और चौड़ाई (ग्राफीय हल)

प्रश्न: एक आयताकार बाग़, जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप (आधा परिमाप) 36 m है। बाग़ की विमाएँ (लंबाई-चौड़ाई) ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना लंबाई = x m, चौड़ाई = y m। तब x + y = 36 …(i) और x − y = 4 …(ii)

चरण 2 (बिंदु): (i) के बिंदु: (0, 36), (16, 20), (20, 16), (36, 0)। (ii) के बिंदु: (4, 0), (20, 16), (36, 32)।

चरण 3: दोनों रेखाएँ बिंदु (20, 16) पर काटती हैं।

प्रश्न 6. दिए गए समीकरण के साथ तीन प्रकार के युग्म बनाइए

प्रश्न: रैखिक समीकरण 2x + 3y − 8 = 0 दिया है। एक अन्य रैखिक समीकरण ऐसा लिखिए कि बना युग्म — (i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ, (ii) समांतर रेखाएँ, (iii) संपाती रेखाएँ दर्शाए।

हल:

चरण 1: दिए गए समीकरण में a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = −8 है।

चरण 2: (i) प्रतिच्छेदी के लिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ चाहिए — जैसे x + y − 4 = 0 (2/1 ≠ 3/1)।

चरण 3: (ii) समांतर के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ चाहिए — जैसे 4x + 6y − 20 = 0 (1/2 = 1/2 ≠ 8/20)।

चरण 4: (iii) संपाती के लिए तीनों अनुपात बराबर चाहिए — जैसे 4x + 6y − 16 = 0 (पहले समीकरण का ठीक दोगुना)।

प्रश्न 7. ग्राफ खींचकर त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए

प्रश्न: समीकरणों x − y + 1 = 0 और 3x + 2y − 12 = 0 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुज को छायांकित कीजिए।

हल:

चरण 1 (बिंदु): x − y + 1 = 0 के बिंदु: (0, 1), (−1, 0), (1, 2), (2, 3)।
3x + 2y − 12 = 0 के बिंदु: (0, 6), (2, 3), (4, 0)।

चरण 2: दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर काटती हैं।

चरण 3: पहली रेखा x-अक्ष को (−1, 0) पर और दूसरी रेखा x-अक्ष को (4, 0) पर काटती है। यही तीन बिंदु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: ग्राफ से हल पढ़ना और केवल अनुपात देखकर युग्म की संगतता बताना — यह अनुपात-वाली तरकीब पूरे अध्याय में काम आएगी।

✏️ प्रश्नावली 3.3 — प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

विधि याद रखें: किसी एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के रूप में निकालिए। फिर उसे दूसरे समीकरण में रख (प्रतिस्थापित कर) दीजिए। एक चर मिलेगा, फिर दूसरा भी।

प्रश्न 1. प्रतिस्थापन विधि से निम्न युग्मों को हल कीजिए

(i) x + y = 14; x − y = 4

हल: पहले समीकरण से x = 14 − y। दूसरे में रखने पर: (14 − y) − y = 4 ⟹ 14 − 2y = 4 ⟹ y = 5। तब x = 14 − 5 = 9।

(ii) s − t = 3; s/3 + t/2 = 6

हल: पहले समीकरण से s = t + 3। दूसरे में रखने पर: (t + 3)/3 + t/2 = 6। दोनों ओर 6 से गुणा करने पर: 2(t + 3) + 3t = 36 ⟹ 5t + 6 = 36 ⟹ t = 6। तब s = 6 + 3 = 9।

(iii) 3x − y = 3; 9x − 3y = 9

हल: पहले समीकरण से y = 3x − 3। दूसरे में रखने पर: 9x − 3(3x − 3) = 9 ⟹ 9x − 9x + 9 = 9 ⟹ 9 = 9 — यह सदैव सत्य है।

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3; 0.4x + 0.5y = 2.3

हल:

चरण 1: दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें: 2x + 3y = 13 …(i) और 4x + 5y = 23 …(ii)

चरण 2: (i) से x = (13 − 3y)/2। (ii) में रखने पर: 2(13 − 3y) + 5y = 23 ⟹ 26 − 6y + 5y = 23 ⟹ y = 3।

चरण 3: x = (13 − 3×3)/2 = 4/2 = 2।

(v) √2 x + √3 y = 0; √3 x − √8 y = 0

हल:

चरण 1: पहले समीकरण से x = −(√3/√2)y।

चरण 2: दूसरे समीकरण में रखने पर: √3 × (−(√3/√2)y) − √8 y = 0 ⟹ −(3/√2)y − 2√2 y = 0 ⟹ −(7/√2)y = 0 ⟹ y = 0।

चरण 3: y = 0 रखने पर x = 0।

(vi) (3x/2) − (5y/3) = −2; (x/3) + (y/2) = 13/6

हल:

चरण 1: भिन्न हटाने के लिए पहले समीकरण को 6 से गुणा करें: 9x − 10y = −12 …(i)। दूसरे को 6 से गुणा करें: 2x + 3y = 13 …(ii)

चरण 2: (ii) से x = (13 − 3y)/2। (i) में रखने पर: 9(13 − 3y)/2 − 10y = −12 ⟹ 117 − 27y − 20y = −24 ⟹ −47y = −141 ⟹ y = 3।

चरण 3: x = (13 − 3×3)/2 = 2।

प्रश्न 2. 2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 को हल कीजिए और m का मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए y = mx + 3 हो

हल:

चरण 1: पहले समीकरण 2x + 3y = 11 से x = (11 − 3y)/2।

चरण 2: दूसरे समीकरण में रखने पर: (11 − 3y) − 4y = −24 ⟹ 11 − 7y = −24 ⟹ y = 5। तब x = (11 − 15)/2 = −2।

चरण 3: अब x = −2, y = 5 को y = mx + 3 में रखें: 5 = m(−2) + 3 ⟹ 2 = −2m ⟹ m = −1।

प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में समीकरण युग्म बनाइए और प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए

(i) प्रश्न: दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना बड़ी संख्या = x, छोटी = y। तब x − y = 26 …(i) और x = 3y …(ii)। (ii) को (i) में रखने पर: 3y − y = 26 ⟹ y = 13, x = 39।

(ii) प्रश्न: दो संपूरक कोणों (जिनका योग 180° होता है) में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए।

हल: माना बड़ा कोण = x°, छोटा = y°। तब x + y = 180 …(i) और x − y = 18 …(ii)। (i) से x = 180 − y रखने पर: 180 − 2y = 18 ⟹ y = 81, x = 99।

(iii) प्रश्न: एक क्रिकेट टीम की कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें ₹3800 में खरीदती है। बाद में वह 3 बल्ले और 5 गेंदें ₹1750 में खरीदती है। प्रत्येक बल्ले और गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना बल्ला = ₹x, गेंद = ₹y। तब 7x + 6y = 3800 …(i) और 3x + 5y = 1750 …(ii)

चरण 2: (ii) से x = (1750 − 5y)/3। (i) में रखने पर: 7(1750 − 5y)/3 + 6y = 3800 ⟹ 12250 − 35y + 18y = 11400 ⟹ −17y = −850 ⟹ y = 50।

चरण 3: x = (1750 − 250)/3 = 1500/3 = 500।

(iv) प्रश्न: एक नगर में टैक्सी का किराया निश्चित शुल्क और दूरी के शुल्क से मिलकर बनता है। 10 km की यात्रा के लिए ₹105 और 15 km की यात्रा के लिए ₹155 देने पड़ते हैं। निश्चित शुल्क और प्रति km शुल्क ज्ञात कीजिए। 25 km यात्रा का किराया कितना होगा?

हल:

चरण 1: माना निश्चित शुल्क = ₹x, प्रति km शुल्क = ₹y। तब x + 10y = 105 …(i) और x + 15y = 155 …(ii)

चरण 2: (i) से x = 105 − 10y। (ii) में रखने पर: 105 − 10y + 15y = 155 ⟹ 5y = 50 ⟹ y = 10। तब x = 105 − 100 = 5।

चरण 3: 25 km का किराया = x + 25y = 5 + 25 × 10 = ₹255।

(v) प्रश्न: एक भिन्न 9/11 हो जाती है, यदि उसके अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो भिन्न 5/6 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना भिन्न = x/y। पहली शर्त से: (x + 2)/(y + 2) = 9/11 ⟹ 11x − 9y = −4 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: (x + 3)/(y + 3) = 5/6 ⟹ 6x − 5y = −3 …(ii)

चरण 3: (ii) से x = (5y − 3)/6। (i) में रखने पर: 11(5y − 3)/6 − 9y = −4 ⟹ 55y − 33 − 54y = −24 ⟹ y = 9। तब x = (45 − 3)/6 = 7।

(vi) प्रश्न: पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी होगी। पाँच वर्ष पहले जैकब की आयु पुत्र की आयु की सात गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना जैकब की आयु = x वर्ष, पुत्र की = y वर्ष। पाँच वर्ष बाद की शर्त से: x + 5 = 3(y + 5) ⟹ x − 3y = 10 …(i)

चरण 2: पाँच वर्ष पहले की शर्त से: x − 5 = 7(y − 5) ⟹ x − 7y = −30 …(ii)

चरण 3: (i) से x = 3y + 10। (ii) में रखने पर: 3y + 10 − 7y = −30 ⟹ −4y = −40 ⟹ y = 10। तब x = 40।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: प्रतिस्थापन विधि के चरण — एक चर को दूसरे के रूप में लिखना, रखना, हल करना और अंत में जाँच करना।

✏️ प्रश्नावली 3.4 — विलोपन विधि (Elimination Method)

विधि याद रखें: समीकरणों को उपयुक्त संख्या से गुणा करके किसी एक चर के गुणांक बराबर कीजिए। फिर जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त (ख़त्म) कर दीजिए।

प्रश्न 1. निम्न युग्मों को विलोपन विधि से हल कीजिए

(i) x + y = 5; x − y = 1

हल: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y विलुप्त हो जाता है: 2x = 6 ⟹ x = 3। पहले समीकरण में रखने पर: 3 + y = 5 ⟹ y = 2।

(ii) 3x + 4y = 10; 2x − 2y = 2

हल: दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: 4x − 4y = 4 …(iii)। पहले समीकरण और (iii) को जोड़ने पर: 7x = 14 ⟹ x = 2। पहले समीकरण में रखने पर: 6 + 4y = 10 ⟹ y = 1।

(iii) 3x − 5y − 4 = 0; 9x = 2y + 7

हल:

चरण 1: समीकरणों को मानक रूप में लिखें: 3x − 5y = 4 …(i) और 9x − 2y = 7 …(ii)

चरण 2: (i) को 3 से गुणा करें: 9x − 15y = 12 …(iii)। (iii) को (ii) में से घटाने पर: 13y = 7 − 12 = −5 ⟹ y = −5/13।

चरण 3: (i) में रखने पर: 3x = 4 + 5y = 4 − 25/13 = 27/13 ⟹ x = 9/13।

(iv) x/2 + 2y/3 = −1; x − y/3 = 3

हल:

चरण 1: भिन्न हटाएँ — पहले समीकरण को 6 से गुणा करें: 3x + 4y = −6 …(i)। दूसरे को 3 से गुणा करें: 3x − y = 9 …(ii)

चरण 2: (i) में से (ii) घटाने पर: 5y = −15 ⟹ y = −3।

चरण 3: (ii) में रखने पर: 3x = 9 + y = 9 − 3 = 6 ⟹ x = 2।

प्रश्न 2. निम्न समस्याओं में समीकरण युग्म बनाइए और विलोपन विधि से हल कीजिए

(i) प्रश्न: यदि किसी भिन्न के अंश में 1 जोड़ा जाए और हर में से 1 घटाया जाए, तो भिन्न 1 हो जाती है। यदि केवल हर में 1 जोड़ा जाए, तो भिन्न 1/2 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना भिन्न = x/y। पहली शर्त से: (x + 1)/(y − 1) = 1 ⟹ x − y = −2 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: x/(y + 1) = 1/2 ⟹ 2x − y = 1 …(ii)

चरण 3: (ii) में से (i) घटाने पर: x = 3। (i) में रखने पर: 3 − y = −2 ⟹ y = 5।

(ii) प्रश्न: पाँच वर्ष पहले निधि की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष बाद निधि की आयु सोनू की आयु की दो गुनी होगी। निधि और सोनू की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना निधि की आयु = x वर्ष, सोनू की = y वर्ष। पाँच वर्ष पहले की शर्त से: x − 5 = 3(y − 5) ⟹ x − 3y = −10 …(i)

चरण 2: दस वर्ष बाद की शर्त से: x + 10 = 2(y + 10) ⟹ x − 2y = 10 …(ii)

चरण 3: (ii) में से (i) घटाने पर: y = 20। (ii) में रखने पर: x = 10 + 2 × 20 = 50।

(iii) प्रश्न: दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, अंकों को उलटने से बनी संख्या के दो गुने के बराबर है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना दहाई का अंक = x, इकाई का अंक = y। तब संख्या = 10x + y और x + y = 9 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: 9(10x + y) = 2(10y + x) ⟹ 90x + 9y = 20y + 2x ⟹ 88x = 11y ⟹ y = 8x …(ii)

चरण 3: (ii) को (i) में रखने पर: x + 8x = 9 ⟹ x = 1, y = 8।

(iv) प्रश्न: मीना बैंक से ₹2000 निकालने गई। कैशियर ने उसे केवल ₹50 और ₹100 के नोट दिए। मीना को कुल 25 नोट मिले। प्रत्येक प्रकार के कितने नोट मिले?

हल:

चरण 1: माना ₹50 के नोट = x, ₹100 के नोट = y। नोटों की संख्या से: x + y = 25 …(i)

चरण 2: राशि से: 50x + 100y = 2000 ⟹ x + 2y = 40 …(ii)

चरण 3: (ii) में से (i) घटाने पर: y = 15। तब x = 25 − 15 = 10।

(v) प्रश्न: एक पुस्तकालय पहले तीन दिनों का निश्चित शुल्क लेता है और उसके बाद प्रत्येक दिन का अतिरिक्त शुल्क लेता है। सरिता ने सात दिन रखी पुस्तक के लिए ₹27 दिए, जबकि सूसी ने पाँच दिन रखी पुस्तक के लिए ₹21 दिए। निश्चित शुल्क और अतिरिक्त दिन का शुल्क ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना निश्चित शुल्क = ₹x, अतिरिक्त प्रति दिन शुल्क = ₹y। सरिता (7 दिन = 3 + 4 अतिरिक्त दिन) से: x + 4y = 27 …(i)

चरण 2: सूसी (5 दिन = 3 + 2 अतिरिक्त दिन) से: x + 2y = 21 …(ii)

चरण 3: (i) में से (ii) घटाने पर: 2y = 6 ⟹ y = 3। (ii) में रखने पर: x = 21 − 6 = 15।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: विलोपन विधि शब्द-प्रश्नों में सबसे तेज़ काम करती है — गुणांक बराबर करो, एक चर ख़त्म करो, हल पाओ।

✏️ प्रश्नावली 3.5 — वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

ध्यान दें: वज्र-गुणन का सूत्र ऊपर Formula वाले भाग में दिया गया है। इस विधि में चिह्नों (sign) की गलती सबसे अधिक होती है — c₁, c₂ के चिह्न ध्यान से लिखें।

प्रश्न 1. निम्न युग्मों के हल की प्रकृति बताइए; अद्वितीय हल हो तो वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए

(i) x − 3y − 3 = 0; 3x − 9y − 2 = 0

हल: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = −3/−9 = 1/3, परंतु c₁/c₂ = −3/−2 = 3/2। यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

(ii) 2x + y = 5; 3x + 2y = 8

हल:

चरण 1: अनुपात देखें: 2/3 ≠ 1/2, अतः अद्वितीय हल है। मानक रूप: 2x + y − 5 = 0; 3x + 2y − 8 = 0।

चरण 2: x = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) = (1 × (−8) − 2 × (−5))/(2 × 2 − 3 × 1) = (−8 + 10)/1 = 2।

चरण 3: y = (c₁a₂ − c₂a₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) = ((−5 × 3) − (−8 × 2))/1 = (−15 + 16) = 1।

(iii) 3x − 5y = 20; 6x − 10y = 40

हल: a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = −20/−40 = 1/2। तीनों अनुपात बराबर हैं।

(iv) x − 3y − 7 = 0; 3x − 3y − 15 = 0

हल:

चरण 1: अनुपात देखें: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = 1। बराबर नहीं हैं, अतः अद्वितीय हल है।

चरण 2: x = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) = ((−3 × −15) − (−3 × −7))/(1 × (−3) − 3 × (−3)) = (45 − 21)/6 = 24/6 = 4।

चरण 3: y = (c₁a₂ − c₂a₁)/6 = ((−7 × 3) − (−15 × 1))/6 = (−21 + 15)/6 = −1।

प्रश्न 2. शर्तों पर आधारित प्रश्न

(i) प्रश्न: a और b के किन मानों के लिए युग्म 2x + 3y = 7; (a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2 के अनंत हल होंगे?

हल:

चरण 1: अनंत हलों की शर्त: 2/(a − b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b − 2)।

चरण 2: पहले दो अनुपातों से: 2(a + b) = 3(a − b) ⟹ 2a + 2b = 3a − 3b ⟹ a = 5b …(i)

चरण 3: पहले और तीसरे अनुपात से: 2(3a + b − 2) = 7(a − b) ⟹ 6a + 2b − 4 = 7a − 7b ⟹ a = 9b − 4 …(ii)

चरण 4: (i) और (ii) से: 5b = 9b − 4 ⟹ b = 1, a = 5।

(ii) प्रश्न: k के किस मान के लिए युग्म 3x + y = 1; (2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1 का कोई हल नहीं होगा?

हल:

चरण 1: कोई हल न होने की शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, अर्थात 3/(2k − 1) = 1/(k − 1)।

चरण 2: वज्र-गुणन से: 3(k − 1) = 2k − 1 ⟹ 3k − 3 = 2k − 1 ⟹ k = 2।

चरण 3 (जाँच): k = 2 पर c का अनुपात = 1/(2k + 1) = 1/5, जो 3/3 = 1 के बराबर नहीं है — शर्त सही है।

प्रश्न 3. प्रतिस्थापन तथा वज्र-गुणन, दोनों विधियों से हल कीजिए: 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4

हल (प्रतिस्थापन विधि):

चरण 1: दूसरे समीकरण से x = (4 − 2y)/3।

चरण 2: पहले समीकरण में रखने पर: 8(4 − 2y)/3 + 5y = 9 ⟹ 32 − 16y + 15y = 27 ⟹ y = 5। तब x = (4 − 10)/3 = −2।

हल (वज्र-गुणन विधि): मानक रूप 8x + 5y − 9 = 0; 3x + 2y − 4 = 0।
x = (5 × (−4) − 2 × (−9))/(8 × 2 − 3 × 5) = (−20 + 18)/1 = −2।
y = ((−9 × 3) − (−4 × 8))/1 = (−27 + 32) = 5।

प्रश्न 4. निम्न समस्याओं में समीकरण युग्म बनाइए और किसी भी बीजगणितीय विधि से हल कीजिए

(i) प्रश्न: छात्रावास के मासिक शुल्क का एक भाग स्थिर है और शेष भाग भोजनालय (मेस) में भोजन किए गए दिनों की संख्या पर निर्भर करता है। छात्रा A, 20 दिन भोजन करके ₹1000 देती है, जबकि छात्रा B, 26 दिन भोजन करके ₹1180 देती है। स्थिर शुल्क और प्रतिदिन भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: माना स्थिर शुल्क = ₹x, प्रतिदिन मूल्य = ₹y। तब x + 20y = 1000 …(i) और x + 26y = 1180 …(ii)। (ii) में से (i) घटाने पर: 6y = 180 ⟹ y = 30। (i) में रखने पर: x = 1000 − 600 = 400।

(ii) प्रश्न: एक भिन्न 1/3 हो जाती है, यदि उसके अंश में से 1 घटा दिया जाए। वह 1/4 हो जाती है, यदि उसके हर में 8 जोड़ दिया जाए। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना भिन्न = x/y। पहली शर्त से: (x − 1)/y = 1/3 ⟹ 3x − y = 3 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: x/(y + 8) = 1/4 ⟹ 4x − y = 8 …(ii)

चरण 3: (ii) में से (i) घटाने पर: x = 5। (i) में रखने पर: 15 − y = 3 ⟹ y = 12।

(iii) प्रश्न: यश ने एक परीक्षा में 40 अंक प्राप्त किए। प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिलते थे और प्रत्येक गलत उत्तर पर 1 अंक कटता था। यदि सही उत्तर पर 4 अंक मिलते और गलत उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश को 50 अंक मिलते। परीक्षा में कुल कितने प्रश्न थे?

हल:

चरण 1: माना सही उत्तर = x, गलत उत्तर = y। पहली स्थिति से: 3x − y = 40 …(i)

चरण 2: दूसरी स्थिति से: 4x − 2y = 50 ⟹ 2x − y = 25 …(ii)

चरण 3: (i) में से (ii) घटाने पर: x = 15। (i) में रखने पर: 45 − y = 40 ⟹ y = 5। कुल प्रश्न = 15 + 5 = 20।

(iv) प्रश्न: स्थान A और B एक राजमार्ग पर 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से और दूसरी कार B से एक ही समय पर चलती हैं। यदि वे एक ही दिशा में चलें तो 5 घंटे में मिलती हैं, और यदि एक-दूसरे की ओर चलें तो 1 घंटे में मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना कारों की चाल = x km/h और y km/h (x > y)। विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल (x + y) होती है: x + y = 100 …(i)

चरण 2: एक ही दिशा में सापेक्ष चाल (x − y) होती है: 5(x − y) = 100 ⟹ x − y = 20 …(ii)

चरण 3: (i) और (ii) जोड़ने पर: 2x = 120 ⟹ x = 60। तब y = 40।

(v) प्रश्न: एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाए और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाए। यदि लंबाई 3 इकाई और चौड़ाई 2 इकाई बढ़ा दी जाए, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना लंबाई = x, चौड़ाई = y। पहली शर्त से: (x − 5)(y + 3) = xy − 9 ⟹ 3x − 5y = 6 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: (x + 3)(y + 2) = xy + 67 ⟹ 2x + 3y = 61 …(ii)

चरण 3: (i) को 3 से और (ii) को 5 से गुणा करके जोड़ने पर: 9x − 15y + 10x + 15y = 18 + 305 ⟹ 19x = 323 ⟹ x = 17। (ii) में रखने पर: 34 + 3y = 61 ⟹ y = 9।

(vi) प्रश्न: △ABC में ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) है। तीनों कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना ∠A = x°, ∠B = y°। तब ∠C = 3y° और शर्त से 3y = 2(x + y) ⟹ 2x − y = 0 ⟹ y = 2x …(i)

चरण 2: त्रिभुज के कोणों का योग: x + y + 3y = 180 ⟹ x + 4y = 180 …(ii)

चरण 3: (i) से y = 2x रखने पर: x + 8x = 180 ⟹ x = 20। तब y = 40 और ∠C = 3 × 40 = 120°।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: पहले अनुपात देखकर हल की प्रकृति पहचानना, फिर वज्र-गुणन सूत्र से सटीक हल निकालना।

✏️ प्रश्नावली 3.6 — रैखिक रूप में बदलकर हल करना

नोट: कुछ समीकरण देखने में रैखिक नहीं लगते, परंतु 1/x = p जैसा प्रतिस्थापन (substitution) करने से वे रैखिक युग्म बन जाते हैं। पहले p, q में हल कीजिए, फिर वापस x, y निकालिए।

प्रश्न 1. निम्न युग्मों को रैखिक युग्म में बदलकर हल कीजिए

(i) 1/(2x) + 1/(3y) = 2; 1/(3x) + 1/(2y) = 13/6

हल:

चरण 1: माना 1/x = p, 1/y = q। समीकरणों को 6 से गुणा करने पर: 3p + 2q = 12 …(i) और 2p + 3q = 13 …(ii)

चरण 2: (i) × 3 − (ii) × 2 करने पर: 9p − 4p = 36 − 26 ⟹ 5p = 10 ⟹ p = 2। (i) में रखने पर: 6 + 2q = 12 ⟹ q = 3।

चरण 3: p = 2 ⟹ x = 1/2; q = 3 ⟹ y = 1/3।

(ii) 2/√x + 3/√y = 2; 4/√x − 9/√y = −1

हल:

चरण 1: माना 1/√x = p, 1/√y = q। तब 2p + 3q = 2 …(i) और 4p − 9q = −1 …(ii)

चरण 2: (i) × 3 + (ii) करने पर: 6p + 4p = 6 − 1 ⟹ 10p = 5 ⟹ p = 1/2। (i) में रखने पर: 1 + 3q = 2 ⟹ q = 1/3।

चरण 3: p = 1/2 ⟹ √x = 2 ⟹ x = 4; q = 1/3 ⟹ √y = 3 ⟹ y = 9।

(iii) 4/x + 3y = 14; 3/x − 4y = 23

हल:

चरण 1: माना 1/x = p। तब 4p + 3y = 14 …(i) और 3p − 4y = 23 …(ii)

चरण 2: (i) × 4 + (ii) × 3 करने पर: 16p + 9p = 56 + 69 ⟹ 25p = 125 ⟹ p = 5। (i) में रखने पर: 20 + 3y = 14 ⟹ y = −2।

चरण 3: p = 5 ⟹ x = 1/5।

(iv) 5/(x − 1) + 1/(y − 2) = 2; 6/(x − 1) − 3/(y − 2) = 1 (जहाँ x ≠ 1, y ≠ 2)

हल:

चरण 1: माना 1/(x − 1) = p, 1/(y − 2) = q। तब 5p + q = 2 …(i) और 6p − 3q = 1 …(ii)

चरण 2: (i) × 3 + (ii) करने पर: 15p + 6p = 6 + 1 ⟹ 21p = 7 ⟹ p = 1/3। (i) में रखने पर: 5/3 + q = 2 ⟹ q = 1/3।

चरण 3: p = 1/3 ⟹ x − 1 = 3 ⟹ x = 4; q = 1/3 ⟹ y − 2 = 3 ⟹ y = 5।

(v) 7x − 2y = 5xy; 8x + 7y = 15xy

हल:

चरण 1: दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर: 7/y − 2/x = 5 और 8/y + 7/x = 15। माना 1/x = p, 1/y = q। तब −2p + 7q = 5 …(i) और 7p + 8q = 15 …(ii)

चरण 2: (i) × 7 + (ii) × 2 करने पर: −14p + 49q + 14p + 16q = 35 + 30 ⟹ 65q = 65 ⟹ q = 1। (i) में रखने पर: −2p + 7 = 5 ⟹ p = 1।

चरण 3: x = 1/1 = 1, y = 1/1 = 1।

(vi) 6x + 3y = 6xy; 2x + 4y = 5xy

हल:

चरण 1: दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर: 6/y + 3/x = 6 और 2/y + 4/x = 5। माना 1/x = p, 1/y = q। तब 3p + 6q = 6 ⟹ p + 2q = 2 …(i) और 4p + 2q = 5 …(ii)

चरण 2: (ii) में से (i) घटाने पर: 3p = 3 ⟹ p = 1। (i) में रखने पर: 1 + 2q = 2 ⟹ q = 1/2।

चरण 3: x = 1, y = 2।

(vii) 10/(x + y) + 2/(x − y) = 4; 15/(x + y) − 5/(x − y) = −2

हल:

चरण 1: माना 1/(x + y) = p, 1/(x − y) = q। तब 10p + 2q = 4 …(i) और 15p − 5q = −2 …(ii)

चरण 2: (i) × 5 + (ii) × 2 करने पर: 50p + 30p = 20 − 4 ⟹ 80p = 16 ⟹ p = 1/5। (i) में रखने पर: 2 + 2q = 4 ⟹ q = 1।

चरण 3: x + y = 5 और x − y = 1। जोड़ने पर: x = 3, y = 2।

(viii) 1/(3x + y) + 1/(3x − y) = 3/4; 1/[2(3x + y)] − 1/[2(3x − y)] = −1/8

हल:

चरण 1: माना 1/(3x + y) = p, 1/(3x − y) = q। तब p + q = 3/4 …(i) और (p − q)/2 = −1/8 ⟹ p − q = −1/4 …(ii)

चरण 2: (i) और (ii) जोड़ने पर: 2p = 1/2 ⟹ p = 1/4। (i) में रखने पर: q = 3/4 − 1/4 = 1/2।

चरण 3: 3x + y = 4 और 3x − y = 2। जोड़ने पर: 6x = 6 ⟹ x = 1, y = 1।

प्रश्न 2. निम्न समस्याओं में समीकरण युग्म बनाइए और हल कीजिए

(i) प्रश्न: एक नाव 30 km धारा के प्रतिकूल (upstream) और 44 km धारा के अनुकूल (downstream) जाने में 10 घंटे लेती है। 13 घंटे में वह 40 km प्रतिकूल और 55 km अनुकूल जा सकती है। धारा की चाल और स्थिर जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना स्थिर जल में नाव की चाल = x km/h, धारा की चाल = y km/h। प्रतिकूल चाल = (x − y), अनुकूल चाल = (x + y)। समय = दूरी/चाल से — 30/(x − y) + 44/(x + y) = 10 …(i) और 40/(x − y) + 55/(x + y) = 13 …(ii)

चरण 2: माना 1/(x − y) = p, 1/(x + y) = q। तब 30p + 44q = 10 और 40p + 55q = 13। पहले को 4 से और दूसरे को 3 से गुणा करके घटाने पर: 176q − 165q = 40 − 39 ⟹ 11q = 1 ⟹ q = 1/11। फिर 30p = 10 − 4 = 6 ⟹ p = 1/5।

चरण 3: x + y = 11 और x − y = 5। जोड़ने पर: x = 8, y = 3।

(ii) प्रश्न: रितु धारा के अनुकूल 20 km 2 घंटे में और धारा के प्रतिकूल 4 km 2 घंटे में नाव चला सकती है। स्थिर जल में उसकी चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना रितु की चाल = x km/h, धारा की चाल = y km/h। अनुकूल चाल: 20/(x + y) = 2 ⟹ x + y = 10 …(i)

चरण 2: प्रतिकूल चाल: 4/(x − y) = 2 ⟹ x − y = 2 …(ii)

चरण 3: (i) और (ii) जोड़ने पर: 2x = 12 ⟹ x = 6। तब y = 4।

(iii) प्रश्न: 2 महिलाएँ और 5 पुरुष मिलकर एक कढ़ाई का काम 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ और 6 पुरुष उसी काम को 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। एक महिला अकेली और एक पुरुष अकेला काम कितने दिनों में पूरा करेगा?

हल:

चरण 1: माना एक महिला काम x दिन में और एक पुरुष y दिन में पूरा करता है। एक दिन का काम लेने पर: 2/x + 5/y = 1/4 …(i) और 3/x + 6/y = 1/3 …(ii)

चरण 2: माना 1/x = p, 1/y = q। तब 2p + 5q = 1/4 और 3p + 6q = 1/3। पहले को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करके घटाने पर: 15q − 12q = 3/4 − 2/3 ⟹ 3q = 1/12 ⟹ q = 1/36। फिर 2p = 1/4 − 5/36 = 1/9 ⟹ p = 1/18।

चरण 3: x = 18, y = 36।

(iv) प्रश्न: पाँच वर्ष पहले नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष बाद नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी होगी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना नूरी की आयु = x वर्ष, सोनू की = y वर्ष। पाँच वर्ष पहले की शर्त से: x − 5 = 3(y − 5) ⟹ x − 3y = −10 …(i)

चरण 2: दस वर्ष बाद की शर्त से: x + 10 = 2(y + 10) ⟹ x − 2y = 10 …(ii)

चरण 3: (ii) में से (i) घटाने पर: y = 20। (ii) में रखने पर: x = 10 + 40 = 50।

(v) प्रश्न: एक भिन्न के अंश और हर का योग उसके अंश के दोगुने से 4 अधिक है। यदि अंश और हर दोनों में 3 बढ़ा दिया जाए, तो वे 2 : 3 के अनुपात में हो जाते हैं। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना भिन्न = x/y। पहली शर्त से: x + y = 2x + 4 ⟹ y = x + 4 …(i)

चरण 2: दूसरी शर्त से: (x + 3)/(y + 3) = 2/3 ⟹ 3x + 9 = 2y + 6 ⟹ 3x − 2y = −3 …(ii)

चरण 3: (i) से y का मान (ii) में रखने पर: 3x − 2(x + 4) = −3 ⟹ x = 5। तब y = 9।

📌 इस प्रश्नावली में हमने सीखा: कठिन दिखने वाले समीकरण भी सही प्रतिस्थापन से साधारण रैखिक युग्म बन जाते हैं — बस अंत में p, q से वापस x, y निकालना न भूलें।

📖 NCERT उदाहरण (Examples) — संक्षिप्त हल सहित

नीचे अध्याय के प्रमुख पाठ्यपुस्तक उदाहरण दिए गए हैं। ये उदाहरण परीक्षा की तैयारी की नींव हैं — इन्हें पहले समझें, फिर प्रश्नावलियाँ हल करें।

उदाहरण 1. आय और व्यय का अनुपात (समीकरण बनाना)

प्रश्न: दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9 : 7 है और उनके व्यय का अनुपात 4 : 3 है। यदि प्रत्येक ₹2000 बचाता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना आय ₹9x और ₹7x है, व्यय ₹4y और ₹3y है। बचत से: 9x − 4y = 2000 …(i) और 7x − 3y = 2000 …(ii)

चरण 2: (i) × 3 − (ii) × 4 करने पर: 27x − 28x = 6000 − 8000 ⟹ x = 2000।

उदाहरण 2. ग्राफीय विधि से हल

प्रश्न: युग्म x + y = 5 और 2x − 3y = 4 को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।

हल:

चरण 1 (बिंदु): x + y = 5 के बिंदु: (0, 5), (5, 0), (2, 3)। 2x − 3y = 4 के बिंदु: (2, 0), (5, 2), (−1, −2)।

चरण 2: दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु (19/5, 6/5) अर्थात (3.8, 1.2) पर काटती हैं। बीजगणित से जाँच: x = 5 − y रखने पर 2(5 − y) − 3y = 4 ⟹ 10 − 5y = 4 ⟹ y = 6/5, x = 19/5 ✓

चित्र: रेखाएँ x + y = 5 और 2x − 3y = 4 का प्रतिच्छेदन बिंदु (19/5, 6/5) ही युग्म का हल है।

उदाहरण 3. ग्राफीय विधि — एक और अभ्यास

प्रश्न: युग्म x + 3y = 6 और 2x − 3y = 12 को ग्राफीय विधि से हल कीजिए।

हल:

चरण 1 (बिंदु): x + 3y = 6 के बिंदु: (0, 2), (6, 0), (3, 1)। 2x − 3y = 12 के बिंदु: (6, 0), (0, −4), (3, −2)।

चरण 2: दोनों रेखाएँ बिंदु (6, 0) पर काटती हैं — यह बिंदु x-अक्ष पर है।

उदाहरण 4. प्रतिस्थापन विधि का उदाहरण

प्रश्न: प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: 7x − 15y = 2; x + 2y = 3।

हल:

चरण 1: दूसरे समीकरण से x = 3 − 2y।

चरण 2: पहले समीकरण में रखने पर: 7(3 − 2y) − 15y = 2 ⟹ 21 − 29y = 2 ⟹ y = 19/29।

चरण 3: x = 3 − 2 × (19/29) = (87 − 38)/29 = 49/29।

उदाहरण 5. विलोपन विधि — दो अंकों वाली संख्या

प्रश्न: एक दो अंकों वाली संख्या और उसके अंकों को उलटने से बनी संख्या का योग 66 है। यदि अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना दहाई का अंक = x, इकाई का अंक = y। योग की शर्त से: (10x + y) + (10y + x) = 66 ⟹ x + y = 6 …(i)

चरण 2: अंतर की शर्त दो प्रकार से हो सकती है: x − y = 2 …(ii) या y − x = 2 …(iii)

चरण 3: (i) व (ii) से x = 4, y = 2 ⟹ संख्या 42। (i) व (iii) से x = 2, y = 4 ⟹ संख्या 24।

उदाहरण 6. वज्र-गुणन विधि का उदाहरण

प्रश्न: वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए: 2x + 3y − 46 = 0; 3x + 5y − 74 = 0।

हल:

चरण 1: यहाँ a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = −46; a₂ = 3, b₂ = 5, c₂ = −74।

चरण 2: x = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) = (3 × (−74) − 5 × (−46))/(2 × 5 − 3 × 3) = (−222 + 230)/1 = 8।

चरण 3: y = (c₁a₂ − c₂a₁)/1 = ((−46 × 3) − (−74 × 2)) = (−138 + 148) = 10।

उदाहरण 7. रैखिक रूप में बदलकर हल

प्रश्न: हल कीजिए: 2/x + 3/y = 13; 5/x − 4/y = −2।

हल:

चरण 1: माना 1/x = p, 1/y = q। तब 2p + 3q = 13 …(i) और 5p − 4q = −2 …(ii)

चरण 2: (i) × 4 + (ii) × 3 करने पर: 8p + 15p = 52 − 6 ⟹ 23p = 46 ⟹ p = 2। (i) में रखने पर: 4 + 3q = 13 ⟹ q = 3।

चरण 3: x = 1/2, y = 1/3।

📌 इस भाग में हमने सीखा: हर विधि का एक-एक पक्का उदाहरण — परीक्षा में जिस विधि से कहा जाए, वही अपनाएँ।

📖 Case Study — केस आधारित प्रश्न (Case-Based Question)

केस पढ़ें: राहुल ने स्टेशनरी की दुकान से कुछ पेन और पेंसिलें खरीदीं। उसने 3 पेन और 2 पेंसिलों के लिए ₹58 दिए। उसके मित्र ने उसी दुकान से 2 पेन और 3 पेंसिलें ₹52 में खरीदीं। माना एक पेन का मूल्य ₹x और एक पेंसिल का मूल्य ₹y है। नीचे के प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

Q1. इस स्थिति का समीकरण युग्म कौन-सा है? —

(A) 3x + 2y = 52; 2x + 3y = 58
(B) 3x + 2y = 58; 2x + 3y = 52
(C) 2x + 3y = 58; 3x + 2y = 52
(D) 3x + 3y = 58; 2x + 2y = 52

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) राहुल की खरीद से 3x + 2y = 58 और मित्र की खरीद से 2x + 3y = 52 बनता है।

Q2. एक पेन का मूल्य कितना है? —

(A) ₹8
(B) ₹10
(C) ₹14
(D) ₹16

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) दोनों समीकरण जोड़ने पर 5x + 5y = 110 ⟹ x + y = 22; घटाने पर x − y = 6। इनसे x = 14, अर्थात पेन ₹14 का है।

Q3. एक पेंसिल का मूल्य कितना है? —

(A) ₹6
(B) ₹8
(C) ₹10
(D) ₹14

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) x + y = 22 में x = 14 रखने पर y = 8, अर्थात पेंसिल ₹8 की है।

Q4. 5 पेन और 5 पेंसिलों का कुल मूल्य कितना होगा? —

(A) ₹100
(B) ₹105
(C) ₹110
(D) ₹120

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 5(x + y) = 5 × 22 = ₹110।

⭐ Quick Revision — परीक्षा से पहले दोहराएँ

महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

• रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 में a और b दोनों साथ में शून्य नहीं हो सकते।
• अनुपात वाली table (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂) से बिना हल किए युग्म की स्थिति बताई जा सकती है — यह बोर्ड का पसंदीदा 1–2 अंकों वाला प्रश्न है।
• प्रतिच्छेदी रेखाएँ = अद्वितीय हल; समांतर रेखाएँ = कोई हल नहीं; संपाती रेखाएँ = अनंत हल।
• विलोपन विधि सबसे तेज़ और सबसे कम गलती वाली विधि है।
• हल निकालने के बाद उत्तर को मूल समीकरण में रखकर जाँच ज़रूर करें।
• शब्द-प्रश्नों में पहले “माना” लिखकर दोनों चर साफ़-साफ़ परिभाषित करें — आधे अंक यहीं बनते हैं।
• प्रश्नावली 3.6 में अंत में p, q से वापस x, y निकालना सबसे महत्वपूर्ण चरण है।

आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• अनुपात लिखते समय c₁/c₂ के चिह्न (sign) गलत लेना — समीकरण को पहले ax + by + c = 0 के रूप में लिखें।
• वज्र-गुणन सूत्र में b₁c₂ − b₂c₁ और c₁a₂ − c₂a₁ का क्रम उलट देना।
• ग्राफ में scale न लिखना और केवल 2 बिंदु लेना — कम से कम 3 बिंदु लें।
• आयु वाले प्रश्नों में “5 वर्ष बाद” की शर्त को दोनों व्यक्तियों पर लागू न करना।
• भिन्न वाले प्रश्नों में हर (denominator) को शून्य मान लेना या उलटी शर्त लगा देना।
• प्रश्नावली 3.6 में p, q का मान ही अंतिम उत्तर समझ लेना — x, y निकालना बाकी रहता है।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• BSEB में इस अध्याय से ग्राफ वाला प्रश्न आए तो ग्राफ पेपर पर scale लिखना न भूलें और प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक साफ़-साफ़ दर्शाएँ।
• “संगत या असंगत” वाले प्रश्न में केवल उत्तर न लिखें — अनुपातों की तुलना चरणबद्ध दिखाएँ, तभी पूरे अंक मिलेंगे।
• प्रत्येक विधि का कम से कम एक प्रश्न उत्तर-पुस्तिका की शैली में चरणबद्ध लिखने का अभ्यास करें।
• पिछले वर्षों में आयु और दो-अंकों वाली संख्या पर आधारित प्रश्न बार-बार पूछे गए हैं — प्रश्नावली 3.4 और 3.6 को हल्के में न लें।
• MCQ (वस्तुनिष्ठ) भाग में अनुपात और संगतता वाले प्रश्न लगभग हर साल आते हैं — नीचे का Quiz ज़रूर हल करें।

📝 Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले स्वयं हल कीजिए, फिर “✅ उत्तर देखें” पर क्लिक करके मिलान कीजिए। अंत में Answer Key table दी गई है।

Q1. 2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 का हल है —

(A) x = 2, y = 5
(B) x = −2, y = 5
(C) x = −2, y = −5
(D) x = 5, y = −2

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) x = −2, y = 5 (घटाने पर 7y = 35 मिलता है)।

Q2. युग्म x + 2y − 4 = 0 और 2x + 4y − 12 = 0 की रेखाएँ हैं —

(A) प्रतिच्छेदी
(B) संपाती
(C) समांतर
(D) लंबवत

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) समांतर — अनुपात 1/2 = 1/2 ≠ 4/12, इसलिए कोई हल नहीं।

Q3. युग्म 2x + 4y = 10 और x + 2y = 5 के हल हैं —

(A) कोई हल नहीं
(B) केवल एक हल
(C) अनंत हल
(D) केवल दो हल

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) अनंत हल — पहला समीकरण दूसरे का दोगुना है, रेखाएँ संपाती हैं।

Q4. 2x + 3y = 7 और 4x + 6y = k के अनंत हलों के लिए k का मान है —

(A) 7
(B) 10
(C) 14
(D) 21

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 14 — अनंत हलों के लिए दूसरा समीकरण पहले का ठीक दोगुना होना चाहिए।

Q5. दो संख्याओं का योग 27 और अंतर 15 है। बड़ी संख्या है —

(A) 18
(B) 21
(C) 24
(D) 15

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 21 — बड़ी संख्या = (27 + 15)/2 = 21।

Q6. युग्म 3x − y = 3 और 9x − 3y = 9 के हल हैं —

(A) x = 1, y = 0
(B) कोई हल नहीं
(C) अनंत हल
(D) x = 0, y = −3

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) अनंत हल — दूसरा समीकरण पहले का 3 गुना है।

Q7. 7 पेंसिलों और 5 पेनों का कुल मूल्य ₹50 है तथा 5 पेंसिलों और 7 पेनों का ₹46 है। 1 पेन का मूल्य है —

(A) ₹3
(B) ₹4
(C) ₹5
(D) ₹6

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) ₹3 — हल करने पर पेंसिल ₹5 और पेन ₹3 मिलता है।

Q8. x − y = 2 और x + y = 4 का हल है —

(A) (2, 2)
(B) (3, 1)
(C) (1, 3)
(D) (4, 0)

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) (3, 1) — जोड़ने पर 2x = 6 मिलता है।

Q9. यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो समीकरण युग्म का हल होगा —

(A) कोई हल नहीं
(B) अनंत हल
(C) अद्वितीय हल
(D) केवल दो हल

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) अद्वितीय हल — रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं।

Q10. दो संख्याओं का योग 137 और अंतर 43 है। संख्याएँ हैं —

(A) 90 और 47
(B) 80 और 57
(C) 97 और 40
(D) 85 और 52

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (A) 90 और 47 — (137 + 43)/2 = 90 और (137 − 43)/2 = 47।

Q11. वज्र-गुणन विधि में x के मान का हर (denominator) होता है —

(A) a₁b₁ − a₂b₂
(B) a₁b₂ − a₂b₁
(C) b₁c₂ − b₂c₁
(D) c₁a₂ − c₂a₁

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) a₁b₂ − a₂b₁ — यही हर x और y दोनों के सूत्र में आता है।

Q12. एक संख्या दूसरी से 5 बड़ी है और दोनों का योग 25 है। छोटी संख्या है —

(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 15

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 10 — छोटी संख्या = (25 − 5)/2 = 10।

Q13. ग्राफ में दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर काटती हैं, तो युग्म होता है —

(A) असंगत
(B) संगत, अद्वितीय हल
(C) आश्रित, अनंत हल
(D) इनमें से कोई नहीं

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) संगत, अद्वितीय हल — प्रतिच्छेदन बिंदु ही हल होता है।

Q14. kx + 2y = 5 और 3x + y = 1 के अद्वितीय हल के लिए k का मान नहीं होना चाहिए —

(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 6

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) 6 — क्योंकि अद्वितीय हल के लिए k/3 ≠ 2/1 होना चाहिए, और k = 6 पर यह बराबर हो जाता है।

Q15. x + 20y = 1000 और x + 26y = 1180 में y (प्रतिदिन भोजन मूल्य) है —

(A) ₹20
(B) ₹25
(C) ₹30
(D) ₹40

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) ₹30 — घटाने पर 6y = 180 मिलता है।

🏆 Answer Key (MCQ Quiz)

Q1 – B	Q2 – C	Q3 – C	Q4 – C	Q5 – B
Q6 – C	Q7 – A	Q8 – B	Q9 – C	Q10 – A
Q11 – B	Q12 – B	Q13 – B	Q14 – D	Q15 – C

❓ Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

Q1. Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations से Bihar Board में कैसे प्रश्न आते हैं?

आमतौर पर इस अध्याय से विधि-आधारित हल वाले प्रश्न (ग्राफ, प्रतिस्थापन, विलोपन) और आयु/संख्या पर आधारित शब्द-प्रश्न आते हैं। अनुपात से संगतता बताने वाला छोटा प्रश्न भी अक्सर पूछा जाता है।

Q2. परीक्षा के लिए सबसे आसान और सुरक्षित विधि कौन-सी है?

विलोपन विधि सबसे तेज़ मानी जाती है, क्योंकि इसमें भिन्न (fraction) कम बनते हैं। फिर भी प्रश्न में जो विधि विशेष रूप से कही जाए, वही अपनाएँ।

Q3. ग्राफीय विधि में सबसे आम गलती क्या होती है?

बिंदुओं की गणना में चिह्न (sign) की गलती और scale न लिखना। हर रेखा के कम से कम 3 बिंदु निकालें, ताकि एक गलत बिंदु तुरंत पकड़ में आ जाए।

Q4. क्या वज्र-गुणन विधि याद करना ज़रूरी है?

हाँ — कुछ प्रश्नों में यही विधि कहकर दी जाती है। सूत्र को “x, y, 1” के चक्र (cycle) के रूप में याद रखें और चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Q5. शब्द-प्रश्न (word problem) कैसे बनाएँ?

पहले अज्ञात राशियों को x और y मानकर लिखें, फिर प्रश्न की हर शर्त को एक समीकरण में बदलें। शर्तें दो हों तो समीकरण भी दो बनेंगे — यही इस अध्याय की मूल कुंजी है।

🔗 पिछले और अगले अध्याय भी पढ़ें

⬅️ पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 2 Polynomials (बहुपद) NCERT Solutions

➡️ अगला अध्याय: Class 10 Math Chapter 4 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण) NCERT Solutions

📚 सभी अध्याय एक जगह: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book PDF

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें –NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

🔚 Conclusion

Class 10 Math Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables में अभ्यास ही सफलता की कुंजी है। अनुपात वाली table याद कर लें, चारों विधियों का कम से कम एक-एक प्रश्न रोज़ हल करें और हर उत्तर की जाँच करने की आदत डालें।

ऊपर दिए गए सभी हल और MCQ Quiz को दोबारा हल करके देखें — यदि आप 15 में से 12+ MCQ सही कर पा रहे हैं, तो आपकी तैयारी सही रास्ते पर है। अगले अध्याय Chapter 4 द्विघात समीकरण के साथ तैयारी जारी रखें। शुभकामनाएँ!