Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes NCERT Solutions in Hindi | पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

परिचय – यह अध्याय रोज़मर्रा की ज़िंदगी से जुड़ा है

Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes के NCERT Solutions इस पेज पर किताब के क्रम से, सरल हिंदी में और हर चरण (step) के साथ दिए गए हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) पूरी तरह व्यवहारिक अध्याय है। टंकी में कितना पानी आएगा, तंबू में कितना कपड़ा लगेगा, एक गोले को पिघलाकर कितनी गोलियाँ बनेंगी – ये सभी प्रश्न इसी अध्याय से हल होते हैं।

कक्षा 9 में आप घनाभ, बेलन, शंकु, गोले और अर्धगोले के बुनियादी सूत्र पढ़ चुके हैं। इस अध्याय में दो नए काम सीखते हैं – (1) संयुक्त ठोस (combination of solids) का क्षेत्रफल व आयतन, और (2) एक ठोस को पिघलाकर दूसरा ठोस बनाना (conversion)। साथ में एक नया आकार आता है – शंकु का छिन्नक (Frustum), जैसे बाल्टी।

Bihar Board (BSEB) परीक्षा में इस अध्याय से 2 अंक और 5 अंक के संख्यात्मक प्रश्न निश्चित आते हैं। कोई लंबी उपपत्ति नहीं है – केवल सूत्र याद रखना है, इसलिए यह अध्याय सबसे अधिक अंक दिलाने वालों में है।

📌 ध्यान दें: जब तक प्रश्न में अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।

📋 अध्याय की जानकारी (Chapter Information)

📚 इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. 13.1 संयुक्त ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल – 9 प्रश्न
2. 13.2 संयुक्त ठोसों का आयतन – 8 प्रश्न
3. 13.3 एक ठोस का दूसरे ठोस में रूपांतरण – 9 प्रश्न
4. 13.4 शंकु का छिन्नक (Frustum) – 5 प्रश्न
5. 13.5 वैकल्पिक प्रश्नावली – मुख्य प्रश्न
6. NCERT उदाहरण, Case Study, Quick Revision, Exam Tips, MCQ Quiz व FAQ

सबसे ज़रूरी अंतर: दो ठोस जुड़ने पर जुड़ी हुई सतह बाहर से नहीं दिखती, इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल साधारण जोड़ नहीं होता; परंतु आयतन हमेशा दोनों आयतनों का साधारण योग होता है।

📊 Important Formulas – सभी सूत्र एक ही Table में

📌 याद रखें: खोखले बेलन (पाइप) का आयतन = π(R² − r²)h; घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²); 1 m³ = 1000 लीटर; 1 cm³ = 1 mL।

चित्र: शंकु का छिन्नक (Frustum) – ऊपर की त्रिज्या r, नीचे की त्रिज्या R, ऊँचाई h और तिरछी ऊँचाई l। बाल्टी इसी आकार की होती है।

✏️ प्रश्नावली 13.1 – संयुक्त ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 1. प्रत्येक का आयतन 64 cm³ वाले दो घनों (cubes) को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ा गया है। इस प्रकार बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: घन का किनारा a = ∛64 = 4 cm।

चरण 2: दो घन जुड़ने पर बना घनाभ: लंबाई = 8 cm, चौड़ाई = 4 cm, ऊँचाई = 4 cm।

चरण 3: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 2(8×4 + 4×4 + 4×8) = 2(32 + 16 + 32) = 2 × 80।

उत्तर: घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm²

प्रश्न 2. एक बर्तन एक खोखले अर्धगोले पर एक खोखला बेलन अध्यारोपित (mounted) करके बना है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और बर्तन की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 14/2 = 7 cm। बेलन भाग की ऊँचाई = 13 − 7 = 6 cm।

चरण 2: आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = अर्धगोले का CSA + बेलन का CSA = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)।

चरण 3: = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 6) = 44 × 13 = 572।

उत्तर: बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm²

प्रश्न 3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: शंकु की ऊँचाई = 15.5 − 3.5 = 12 cm। तिरछी ऊँचाई l = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 cm।

चरण 2: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA = πrl + 2πr² = (22/7) × 3.5 × 12.5 + 2 × (22/7) × (3.5)² = 137.5 + 77।

उत्तर: खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm²

प्रश्न 4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक (cubical block) के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: अर्धगोले का अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm, अतः त्रिज्या r = 3.5 cm।

चरण 2: ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का TSA + अर्धगोले का CSA − अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल = 6a² + 2πr² − πr² = 6a² + πr²।

चरण 3: = 6 × 49 + (22/7) × (3.5)² = 294 + 38.5 = 332.5।

उत्तर: अधिकतम व्यास = 7 cm; पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm²

प्रश्न 5. एक ठोस लोहे का खंभा (pole) बेलन के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 220 cm और आधार का व्यास 24 cm है। इस पर 60 cm ऊँचा और 8 cm त्रिज्या वाला एक अन्य बेलन अध्यारोपित है। खंभे का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि लोहे के 1 cm³ का द्रव्यमान 8 g है।

हल:

चरण 1: बड़े बेलन की त्रिज्या = 12 cm। आयतन = π(12)² × 220 = 31680π cm³।

चरण 2: छोटे बेलन का आयतन = π(8)² × 60 = 3840π cm³। कुल आयतन = (31680 + 3840)π = 35520π cm³। यहाँ π = 3.14 लेने पर (किताब के उत्तर के अनुसार) आयतन = 35520 × 3.14 = 1,11,532.8 cm³।

चरण 3: द्रव्यमान = 1,11,532.8 × 8 g = 8,92,262.4 g ≈ 892.26 kg।

उत्तर: खंभे का द्रव्यमान ≈ 892.26 kg

प्रश्न 6. एक ठोस, त्रिज्या 60 cm वाले एक अर्धगोले पर खड़े हुए, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाले एक लंब वृत्तीय शंकु से बना है। इस ठोस को ऊँचाई 180 cm और त्रिज्या 60 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन में, जो पानी से पूरी तरह भरा हुआ है, सीधा खड़ा रखा जाता है। बेलन में बचे हुए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: बेलन का आयतन = π(60)² × 180 = 648000π cm³।

चरण 2: शंकु का आयतन = (1/3)π(60)² × 120 = 144000π cm³। अर्धगोले का आयतन = (2/3)π(60)³ = 144000π cm³। ठोस का कुल आयतन = 288000π cm³।

चरण 3: बचा पानी = 648000π − 288000π = 360000π = 360000 × (22/7) ≈ 11,31,428.57 cm³ ≈ 1.131 m³।

उत्तर: बचे हुए पानी का आयतन ≈ 1.131 m³

प्रश्न 7. एक गोलाकार काँच के बर्तन का गर्दन (neck) वाला भाग बेलनाकार है, जिसकी लंबाई 8 cm और व्यास 2 cm है। गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। बर्तन में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन मापकर एक बच्चे ने बताया कि यह 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यदि π = 3.14 है।

हल:

चरण 1: गोलाकार भाग की त्रिज्या = 4.25 cm। उसका आयतन = (4/3)π(4.25)³ = (4/3) × 3.14 × 76.7656 ≈ 321.39 cm³।

चरण 2: गर्दन (बेलन) की त्रिज्या = 1 cm, ऊँचाई = 8 cm। आयतन = π(1)² × 8 = 3.14 × 8 = 25.12 cm³।

चरण 3: कुल आयतन ≈ 321.39 + 25.12 = 346.51 cm³। यह 345 cm³ से अधिक है।

उत्तर: बर्तन का आयतन ≈ 346.51 cm³ है, अतः बच्चे का उत्तर (345 cm³) सही नहीं है (सिर्फ़ लगभग मान है)।

प्रश्न 8. एक ठोस खिलौना, एक अर्धगोले के ऊपर एक लंब वृत्तीय शंकु रखकर बना है। शंकु की ऊँचाई 2 cm और आधार का व्यास 4 cm है। इसी प्रकार बने बेलन का (जो खिलौने को परिगत करता है – circumscribing cylinder) और खिलौने के आयतनों का अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 2 cm। खिलौने की कुल ऊँचाई = 2 (शंकु) + 2 (अर्धगोले की त्रिज्या) = 4 cm। परिगत बेलन: r = 2 cm, h = 4 cm, आयतन = π(2)² × 4 = 16π cm³।

चरण 2: खिलौने का आयतन = शंकु + अर्धगोला = (1/3)π(2)²(2) + (2/3)π(2)³ = 8π/3 + 16π/3 = 8π cm³।

चरण 3: अंतर = 16π − 8π = 8π = 8 × (22/7) ≈ 25.14 cm³।

उत्तर: आयतनों का अंतर ≈ 25.14 cm³

प्रश्न 9. एक लकड़ी का लेख (article) एक ठोस बेलन के दोनों सिरों से एक-एक अर्धगोला खोदकर (scooping out) बनाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और उसके आधार की त्रिज्या 3.5 cm है, तो इस लेख का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: बेलन का CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 10 = 220 cm²।

चरण 2: दोनों अर्धगोलाकार खोदे हुए भागों का CSA = 2 × 2πr² = 4 × (22/7) × (3.5)² = 154 cm²।

चरण 3: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 + 154 = 374 cm²। (आधार के वृत्त नहीं बचते, क्योंकि दोनों सिरों पर अर्धगोले खोदे गए हैं।)

उत्तर: लेख का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 cm²

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल बाहर दिखने वाली सतहें गिनें; जुड़ी/खोदी हुई सतह का क्षेत्रफल अलग से जोड़ें या घटाएँ।

✏️ प्रश्नावली 13.2 – संयुक्त ठोसों का आयतन

चित्र: एक खिलौना – नीचे अर्धगोला और ऊपर शंकु; ऐसे संयुक्त ठोस का आयतन दोनों भागों के आयतनों का योग होता है।

प्रश्न 1. एक ठोस, एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं और शंकु की ऊँचाई भी उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: r = 1 cm, शंकु की ऊँचाई h = 1 cm।

चरण 2: आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)π + (2/3)π = π।

उत्तर: ठोस का आयतन = π cm³

प्रश्न 2. इंजीनियरिंग की एक छात्रा रचेल (Rachel) को एक पतली एल्यूमीनियम शीट से एक ऐसा मॉडल बनाने को कहा गया, जो एक बेलन के आकार का हो और जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हों। यदि मॉडल का व्यास 3 cm और उसकी लंबाई 12 cm है तथा प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm है, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि मॉडल की बाहरी और आंतरिक मापें लगभग बराबर हैं।)

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 1.5 cm। बेलन की ऊँचाई = 12 − 2 − 2 = 8 cm।

चरण 2: हवा का आयतन = बेलन का आयतन + 2 × शंकु का आयतन = π(1.5)² × 8 + 2 × (1/3)π(1.5)² × 2 = 18π + 3π = 21π।

चरण 3: 21 × (22/7) = 66।

उत्तर: मॉडल में हवा का आयतन = 66 cm³

प्रश्न 3. एक गुलाब जामुन में उसके आयतन का लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। ऐसे 45 गुलाब जामुनों में कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर अर्धगोले हैं? गुलाब जामुन की लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है।

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 1.4 cm। बेलन भाग की लंबाई = 5 − 1.4 − 1.4 = 2.2 cm।

चरण 2: एक गुलाब जामुन का आयतन = πr²h + (4/3)πr³ = (22/7) × (1.4)² × 2.2 + (4/3) × (22/7) × (1.4)³ = 13.55 + 11.50 ≈ 25.05 cm³।

चरण 3: 45 का कुल आयतन ≈ 45 × 25.05 = 1127.25 cm³। चाशनी = 30% × 1127.25 ≈ 338.18 cm³।

उत्तर: 45 गुलाब जामुनों में चाशनी ≈ 338 cm³

प्रश्न 4. एक कलमदानी (pen stand) लकड़ी के एक घनाभ से, जिसमें चार शंक्वाकार गड्ढे हैं, बनाई गई है (कलम रखने के लिए)। घनाभ की मापें 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदानी में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: घनाभ का आयतन = 15 × 10 × 3.5 = 525 cm³। (NCERT में ऊँचाई 3.5 cm है।)

चरण 2: एक गड्ढे का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × (0.5)² × 1.4 = 0.3667 cm³। चार गड्ढों का = 4 × 0.3667 ≈ 1.47 cm³।

चरण 3: लकड़ी का आयतन = 525 − 1.47 ≈ 523.53 cm³।

उत्तर: लकड़ी का आयतन ≈ 523.53 cm³

प्रश्न 5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला है) की त्रिज्या 5 cm है। यह किनारे तक पानी से भरा है। जब इस बर्तन में सीसे (lead) की कुछ गोलियाँ, जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो पानी का एक-चौथाई (1/4) भाग बाहर बह जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: शंकु का आयतन = (1/3)π(5)² × 8 = 200π/3 cm³। बाहर बहा पानी = (1/4) × 200π/3 = 50π/3 cm³।

चरण 2: एक गोली का आयतन = (4/3)π(0.5)³ = π/6 cm³।

चरण 3: गोलियों की संख्या = (50π/3) ÷ (π/6) = (50/3) × 6 = 100।

उत्तर: डाली गई गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 6. त्रिज्या 10.5 cm वाली एक ठोस धातु की गोलाकार गेंद को पिघलाकर त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 3 cm वाले छोटे-छोटे शंकुओं में ढाला जाता है। इस प्रकार बने शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: गोले का आयतन = (4/3)π(10.5)³ = (4/3)π × 1157.625 = 1543.5π cm³। एक शंकु का आयतन = (1/3)π(3.5)² × 3 = π(3.5)² = 12.25π cm³।

चरण 2: शंकुओं की संख्या = गोले का आयतन ÷ एक शंकु का आयतन = 1543.5π/12.25π = 126।

उत्तर: बने शंकुओं की संख्या = 126

प्रश्न 7. एक धातु के गोलीय कोश (spherical shell) के आंतरिक और बाह्य व्यास क्रमशः 4 cm और 8 cm हैं। इसे पिघलाकर आधार व्यास 8 cm वाला एक शंकु बनाया जाता है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: कोश की बाहरी त्रिज्या R = 4 cm, आंतरिक त्रिज्या r = 2 cm। धातु का आयतन = (4/3)π(R³ − r³) = (4/3)π(64 − 8) = 224π/3 cm³।

चरण 2: शंकु की त्रिज्या = 4 cm। (1/3)π(4)²h = 224π/3 ⇒ 16h = 224 ⇒ h = 14।

उत्तर: शंकु की ऊँचाई = 14 cm

प्रश्न 8. एक नहर (canal) 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी है। इसमें पानी 10 km/h की गति से बह रहा है। यदि खड़ी फसल (standing water) के लिए 8 cm पानी की आवश्यकता है, तो यह नहर 30 मिनट में कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी?

हल:

चरण 1: 30 मिनट में पानी जितनी लंबाई तय करता है = 10 × (1/2) = 5 km = 5000 m।

चरण 2: 30 मिनट में बहे पानी का आयतन = 6 × 1.5 × 5000 = 45,000 m³।

चरण 3: सिंचित क्षेत्रफल = आयतन / आवश्यक गहराई = 45,000/0.08 = 5,62,500 m²।

उत्तर: सिंचित क्षेत्रफल = 5,62,500 m²

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – आयतन हमेशा जुड़ता है; “कितनी वस्तुएँ बनेंगी” वाले प्रश्न में बड़े आयतन को छोटे आयतन से भाग दें।

✏️ प्रश्नावली 13.3 – एक ठोस का दूसरे ठोस में रूपांतरण

मूल नियम: पिघलाने, ढालने या तार खींचने पर आयतन समान रहता है – पहले का आयतन = बाद का कुल आयतन।

प्रश्न 1. त्रिज्या 4.2 cm वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: (4/3)π(4.2)³ = π(6)²h ⇒ h = [4 × (4.2)³]/(3 × 36) = (4 × 74.088)/108।

चरण 2: h = 296.352/108 = 2.744।

उत्तर: बेलन की ऊँचाई ≈ 2.74 cm

प्रश्न 2. क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: R³ = 6³ + 8³ + 10³ = 216 + 512 + 1000 = 1728।

चरण 2: R = ∛1728 = 12।

उत्तर: बड़े गोले की त्रिज्या = 12 cm

प्रश्न 3. व्यास 7 m और गहराई 20 m वाला एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा (platform) बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: कुएँ की त्रिज्या = 3.5 m। मिट्टी का आयतन = π(3.5)² × 20 = (22/7) × 12.25 × 20 = 770 m³।

चरण 2: चबूतरे की ऊँचाई = 770/(22 × 14) = 770/308 = 2.5।

उत्तर: चबूतरे की ऊँचाई = 2.5 m

प्रश्न 4. व्यास 3 m और गहराई 14 m वाला एक कुआँ खोदा गया है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़े वृत्ताकार घेरे (ring) में समान रूप से फैलाकर एक चबूतरा-सा बाँध (embankment) बनाया गया है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: कुएँ की त्रिज्या = 1.5 m। मिट्टी का आयतन = π(1.5)² × 14 = 31.5π m³।

चरण 2: घेरे की बाहरी त्रिज्या = 1.5 + 4 = 5.5 m। घेरे का क्षेत्रफल = π[(5.5)² − (1.5)²] = π × 28 = 28π m²।

चरण 3: ऊँचाई = 31.5π/28π = 1.125।

उत्तर: बाँध की ऊँचाई = 1.125 m

प्रश्न 5. एक भवन की छत, जिसकी लंबाई 22 m और चौड़ाई 20 m है, से वर्षा का पानी एक बेलनाकार बर्तन में बहता है, जिसके आधार का व्यास 2 m और ऊँचाई 3.5 m है। यदि बर्तन ठीक पूरा भर जाता है, तो ज्ञात कीजिए कि वर्षा कितने cm हुई है।

हल:

चरण 1: बर्तन की त्रिज्या = 1 m। बर्तन का आयतन = π(1)² × 3.5 = (22/7) × 3.5 = 11 m³।

चरण 2: वर्षा की गहराई = आयतन/छत का क्षेत्रफल = 11/(22 × 20) = 11/440 = 0.025 m = 2.5 cm।

उत्तर: वर्षा = 2.5 cm हुई

प्रश्न 6. एक बेलनाकार बाल्टी, जिसकी ऊँचाई 32 cm और आधार की त्रिज्या 18 cm है, रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली करके रेत का एक शंक्वाकार ढेर बनाया जाता है। यदि शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेर की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: रेत का आयतन समान रहेगा: (1/3)πr² × 24 = π(18)² × 32।

चरण 2: 8r² = 324 × 32 = 10368 ⇒ r² = 1296 ⇒ r = 36।

उत्तर: ढेर की त्रिज्या = 36 cm

प्रश्न 7. एक नहर 30 cm चौड़ी और 12 cm गहरी है। इसमें पानी 2.5 km/h की गति से बह रहा है। यदि खड़ी फसल के लिए 8 cm पानी की आवश्यकता हो, तो यह नहर 20 मिनट में कितने क्षेत्रफल की सिंचाई करेगी?

हल:

चरण 1: 20 मिनट में पानी की लंबाई = 2500 × (20/60) = 833.33 m।

चरण 2: आयतन = 0.30 × 0.12 × 833.33 = 30 m³। क्षेत्रफल = 30/0.08 = 375 m²।

उत्तर: सिंचित क्षेत्रफल = 375 m²

प्रश्न 8. एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को, आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा, एक नहर से जोड़ता है। पाइप में पानी 3 km/h की गति से बहता है। टंकी कितने समय में पूरी तरह भरेगी?

हल:

चरण 1: टंकी का आयतन = π(5)² × 2 = 50π m³।

चरण 2: पाइप की त्रिज्या = 0.1 m। एक घंटे में आया पानी = π(0.1)² × 3000 = 30π m³।

चरण 3: समय = 50π/30π = 5/3 घंटा = 1 घंटा 40 मिनट।

उत्तर: टंकी 1 घंटा 40 मिनट में भरेगी

प्रश्न 9. सत्ताईस (27) ठोस लोहे के गोले, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, पिघलाकर एक ऐसा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S′ है। ज्ञात कीजिए: (i) नए गोले की त्रिज्या r′ (ii) S और S′ का अनुपात।

हल:

चरण 1: आयतन समान: 27 × (4/3)πr³ = (4/3)πr′³ ⇒ r′³ = 27r³ ⇒ r′ = 3r।

चरण 2: S/S′ = (4πr²)/(4πr′²) = (r/(3r))² = 1/9।

उत्तर: (i) r′ = 3r (ii) S : S′ = 1 : 9

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – रूपांतरण का एक ही समीकरण है: पहले का आयतन = बाद का कुल आयतन।

✏️ प्रश्नावली 13.4 – शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone)

छिन्नक के सूत्र: आयतन = (1/3)πh(R² + Rr + r²); वक्र पृष्ठ = πl(R + r); कुल पृष्ठ = πl(R + r) + πR² + πr²; जहाँ l = √(h² + (R − r)²)।

प्रश्न 1. एक पीने का गिलास शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 14 cm है। इसके दो वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता (capacity) ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: R = 2 cm, r = 1 cm, h = 14 cm।

चरण 2: धारिता = (1/3)πh(R² + Rr + r²) = (1/3) × (22/7) × 14 × (4 + 2 + 1) = (1/3) × (22/7) × 14 × 7 = 308/3।

उत्तर: गिलास की धारिता ≈ 102.67 cm³

प्रश्न 2. एक शंकु के छिन्नक की तिरछी ऊँचाई 4 cm है और इसके वृत्ताकार सिरों की परिधियाँ (circumferences) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: 2πR = 18 ⇒ R = 9/π; 2πr = 6 ⇒ r = 3/π। अतः R + r = 12/π।

चरण 2: वक्र पृष्ठ = πl(R + r) = π × 4 × (12/π) = 48।

उत्तर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 cm²

प्रश्न 3. एक तुर्की टोपी (fez) शंकु के एक छिन्नक के आकार की है। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी आधार की त्रिज्या 4 cm है और इसकी तिरछी ऊँचाई 15 cm है, तो इसे बनाने में प्रयुक्त सामग्री (material) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: टोपी ऊपर से बंद और नीचे (मुँह की ओर) खुली होती है, अतः सामग्री का क्षेत्रफल = छिन्नक का वक्र पृष्ठ + ऊपरी (छोटे) वृत्त का क्षेत्रफल = πl(R + r) + πr²।

चरण 2: वक्र पृष्ठ = (22/7) × 15 × (10 + 4) = 660 cm²। ऊपरी वृत्त = (22/7) × (4)² = 50.29 cm²। कुल = 660 + 50.29 = 710.29 cm²।

उत्तर: प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल ≈ 710.29 cm²

प्रश्न 4. एक धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा इसके निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। ₹20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, धातु की चादर का मूल्य भी ज्ञात कीजिए, यदि चादर की लागत ₹8 प्रति 100 cm² है। (π = 3.14 लीजिए।)

हल:

चरण 1: R = 20 cm, r = 8 cm, h = 16 cm। आयतन = (1/3) × 3.14 × 16 × (400 + 160 + 64) = (1/3) × 3.14 × 16 × 624 = 10,449.92 cm³ ≈ 10.45 लीटर।

चरण 2: दूध का मूल्य = 10.44992 × 20 ≈ ₹208.99 ≈ ₹209।

चरण 3: तिरछी ऊँचाई l = √(16² + (20 − 8)²) = √(256 + 144) = √400 = 20 cm। चादर का क्षेत्रफल = πl(R + r) + πr² = 3.14 × 20 × 28 + 3.14 × 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36 cm²।

चरण 4: चादर का मूल्य = 1959.36 × (8/100) ≈ ₹156.75।

उत्तर: दूध का मूल्य ≈ ₹209; चादर का मूल्य ≈ ₹156.75

प्रश्न 5. 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक लंब वृत्तीय शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों-बीच से होकर आधार के समांतर एक तल द्वारा दो भागों में काटा गया है। यदि इस प्रकार प्राप्त शंकु के छिन्नक को 1/12 cm व्यास वाले एक तार में खींचा जाता है, तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: शीर्ष कोण 60° है, अतः अर्ध-कोण 30°। पूरे शंकु की त्रिज्या R = 20 × tan30° = 20/√3 cm। बीच से काटने पर छिन्नक की ऊँचाई = 10 cm और ऊपरी त्रिज्या r = 10/√3 cm।

चरण 2: छिन्नक का आयतन = (1/3)π × 10 × (R² + Rr + r²) = (10π/3) × (400/3 + 200/3 + 100/3) = (10π/3) × (700/3) = 7000π/9 cm³।

चरण 3: तार की त्रिज्या = 1/24 cm। तार की लंबाई L के लिए π(1/24)²L = 7000π/9 ⇒ L = (7000/9) × 576 = 7000 × 64 = 4,48,000 cm = 4480 m।

उत्तर: तार की लंबाई = 4480 m

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – छिन्नक में R हमेशा बड़ी त्रिज्या और r छोटी त्रिज्या होती है; खुले मुँह वाला वृत्त क्षेत्रफल में नहीं जुड़ता।

✏️ प्रश्नावली 13.5 (वैकल्पिक) – मुख्य प्रश्न

प्रश्न 1. ताँबे के एक तार का व्यास 3 mm है। इस तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर एक जैसे कवर करने के लिए (पूरी वक्र सतह ढकने हेतु) लपेटा जाता है। तार की लंबाई ज्ञात कीजिए तथा साथ ही ताँबे के तार का द्रव्यमान भी ज्ञात कीजिए, जबकि ताँबे का घनत्व 8.88 g/cm³ है।

हल:

चरण 1: तार का व्यास = 0.3 cm। फेरों (turns) की संख्या = 12/0.3 = 40। एक फेरे की लंबाई = बेलन की परिधि = π × 10 = 10π cm। कुल लंबाई = 40 × 10π = 400π ≈ 1256 cm = 12.56 m।

चरण 2: तार की त्रिज्या = 0.15 cm। तार का आयतन = π × (0.15)² × 1256 = 3.14 × 0.0225 × 1256 ≈ 88.74 cm³।

चरण 3: द्रव्यमान = 88.74 × 8.88 ≈ 788.4 g (लगभग)।

उत्तर: तार की लंबाई ≈ 12.56 m; द्रव्यमान ≈ 788.4 g

प्रश्न 2. एक आंतरिक माप 150 cm × 120 cm × 110 cm वाला टैंक (cistern) 129600 cm³ पानी से भरा है। इसमें कुछ छिद्रयुक्त ईंटें (porous bricks) तब तक डाली जाती हैं, जब तक टैंक किनारे तक न भर जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का 1/17 भाग पानी सोख लेती है। प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm × 7.5 cm × 6.5 cm है। कितनी ईंटें टैंक में डाली जा सकती हैं?

हल:

चरण 1: एक ईंट का आयतन = 22.5 × 7.5 × 6.5 = 1096.875 cm³। एक ईंट द्वारा सोखा पानी = 1096.875/17 = 64.52 cm³।

चरण 2: माना n ईंटें डाली गईं। टैंक भरने की शर्त: (शेष पानी का आयतन) + (ईंटों का आयतन) = टैंक का आयतन ⇒ 129600 − 64.52n + 1096.875n = 150 × 120 × 110 = 19,80,000।

चरण 3: 1032.35n = 18,50,400 ⇒ n ≈ 1792.4। पूर्ण ईंटें 1792 ही आ सकती हैं।

उत्तर: टैंक में 1792 ईंटें डाली जा सकती हैं

प्रश्न 3. एक घन (cube) की भुजा 14 cm है। इसमें से अधिकतम आकार का एक शंकु काटकर निकाला जाता है। शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: अधिकतम शंकु की त्रिज्या r = 7 cm और ऊँचाई h = 14 cm। तिरछी ऊँचाई l = √(7² + 14²) = √245 ≈ 15.65 cm।

चरण 2: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r) = (22/7) × 7 × (15.65 + 7) = 22 × 22.65 ≈ 498.35 cm²।

चरण 3: शेष ठोस का क्षेत्रफल = घन का TSA − शंकु के आधार का क्षेत्रफल + शंकु का CSA = 6 × (14)² − (22/7)(7)² + (22/7)(7)(15.65) = 1176 − 154 + 344.35 ≈ 1366.35 cm²।

उत्तर: शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 498.35 cm²; शेष ठोस का ≈ 1366.35 cm²

प्रश्न 4. त्रिज्या r वाले दो सर्वसम (identical) ठोस अर्धगोलों को उनके आधारों से जोड़कर चिपकाया गया है। इस संयोजन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: आधार जुड़ने पर दोनों अर्धगोले मिलकर त्रिज्या r का एक पूरा गोला बनाते हैं; जुड़ा हुआ वृत्ताकार आधार अंदर छिप जाता है।

चरण 2: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × अर्धगोले का CSA = 2 × 2πr² = 4πr² (जो गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है)।

उत्तर: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – वैकल्पिक प्रश्न लंबे होते हैं, परंतु उनमें भी वही सूत्र और “आयतन समान” वाला नियम काम करता है।

📖 NCERT उदाहरण (Examples) – मुख्य उदाहरण सरल हल सहित

उदाहरण 1 (कैप्सूल). एक दवाई का कैप्सूल एक बेलन के दोनों सिरों पर अर्धगोले लगे हुए आकार का है। कैप्सूल की कुल लंबाई 14 mm और व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

हल:

चरण 1: त्रिज्या r = 2.5 mm। बेलन भाग की लंबाई = 14 − 2 × 2.5 = 9 mm।

चरण 2: पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का CSA + 2 × अर्धगोले का CSA = 2πrh + 4πr² = 2 × (22/7) × 2.5 × 9 + 4 × (22/7) × (2.5)² = 990/7 + 550/7 = 1540/7 = 220।

उत्तर: कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm²

📌 ध्यान दें: जहाँ अर्धगोले बेलन से जुड़े हैं, वह वृत्ताकार पृष्ठ अंदर छिप जाता है, इसलिए उसे नहीं जोड़ा गया।

उदाहरण 2 (शटलकॉक). एक शटलकॉक (shuttlecock) शंकु के एक छिन्नक और एक अर्धगोले को जोड़कर बना है। छिन्नक के दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास क्रमशः 5 cm और 2 cm हैं तथा ऊँचाई 7 cm है। अर्धगोला छोटे सिरे पर जुड़ा है। शटलकॉक का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: R = 2.5 cm, r = 1 cm, h = 7 cm। छिन्नक की तिरछी ऊँचाई l = √(7² + (2.5 − 1)²) = √(49 + 2.25) = √51.25 ≈ 7.16 cm।

चरण 2: बाहरी पृष्ठ = छिन्नक का CSA + अर्धगोले का CSA = πl(R + r) + 2πr² = 3.14 × 7.16 × 3.5 + 2 × 3.14 × 1 = 78.68 + 6.28 ≈ 84.96।

उत्तर: शटलकॉक का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 85 cm²

उदाहरण 3 (जूस का गिलास). एक जूस विक्रेता अपने ग्राहकों को आकृति में दर्शाए गए गिलासों से जूस देता है। बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास 5 cm और ऊँचाई 10 cm है, परंतु गिलास के निचले आधार (तली) में एक उभरा हुआ अर्धगोला है, जिससे गिलास की धारिता कम हो जाती है। गिलास की (i) आभासी (apparent) धारिता और (ii) वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल:

चरण 1: आंतरिक त्रिज्या = 2.5 cm। आभासी धारिता = बेलन का आयतन = π(2.5)² × 10 = 3.14 × 62.5 = 196.25 cm³।

चरण 2: उभरे अर्धगोले का आयतन = (2/3)π(2.5)³ = (2/3) × 3.14 × 15.625 ≈ 32.71 cm³।

चरण 3: वास्तविक धारिता = 196.25 − 32.71 = 163.54 cm³।

उत्तर: आभासी धारिता = 196.25 cm³; वास्तविक धारिता = 163.54 cm³

📖 Case Study – गाँव की पानी की टंकी

एक गाँव में बेलनाकार पानी की टंकी बनाई गई है, जिसकी आंतरिक त्रिज्या 7 m और ऊँचाई 10 m है। टंकी के ऊपर उसी त्रिज्या का एक अर्धगोलाकार ढक्कन (dome) लगाया गया है। पंचायत को टंकी की कुल धारिता और बाहर से रंग करने का खर्च निकालना है। इस जानकारी के आधार पर प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

Q1. टंकी के बेलनाकार भाग की धारिता कितनी है? (π = 22/7) —

(A) 1540 m³
(B) 154 m³
(C) 440 m³
(D) 3080 m³

Q2. अर्धगोलाकार ढक्कन का आयतन कितना है? —

(A) 1437.33 m³
(B) 718.67 m³
(C) 616 m³
(D) 359.33 m³

Q3. टंकी के बेलनाकार भाग के बाहरी वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल कितना है? —

(A) 154 m²
(B) 308 m²
(C) 440 m²
(D) 616 m²

Q4. यदि टंकी पूरी भर दी जाए, तो उसमें कितने लीटर पानी आएगा? (बेलन + ढक्कन के नीचे की जगह; 1 m³ = 1000 लीटर) —

(A) 22,58,670 लीटर (लगभग)
(B) 15,40,000 लीटर
(C) 2,25,867 लीटर (लगभग)
(D) 7,18,670 लीटर

⭐ Quick Revision – Important Points

• संयुक्त ठोस में पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ते समय जुड़ी हुई सतह को दोनों ओर से घटाएँ; आयतन में कुछ न घटाएँ।
• शंकु में CSA के लिए तिरछी ऊँचाई l और आयतन के लिए ऊर्ध्व ऊँचाई h लगती है – यही सबसे आम गलती का स्थान है।
• रूपांतरण के हर प्रश्न में: पहले का आयतन = बाद का कुल आयतन।
• छिन्नक में R = बड़ी त्रिज्या, r = छोटी त्रिज्या; l = √(h² + (R − r)²)।
• खुले बर्तन में ढक्कन/मुँह वाला वृत्त नहीं जुड़ता – प्रश्न ध्यान से पढ़ें।
• 1 m³ = 1000 लीटर; पानी की मात्रा लीटर में बदलना न भूलें।

⚠️ Aam Galtiyan (Common Mistakes)

• व्यास को ही त्रिज्या मानकर सूत्र में रख देना (पहले आधा करें)।
• अर्धगोले के TSA में 3πr² की जगह 2πr² (केवल CSA) लगा देना, जबकि ठोस अर्धगोले का आधार भी गिनना होता है।
• शंकु के CSA में h की जगह l, या l की जगह h रख देना।
• क्षेत्रफल की इकाई cm³ या आयतन की cm² लिख देना।
• प्रश्न में दिया π का मान (3.14) छोड़कर 22/7 लगा देना, या उल्टा।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• सूत्र-सारणी याद करें: ऊपर दी गई table को एक पेज पर लिखकर 3–4 बार दोहराएँ; इस अध्याय के 90% प्रश्न इन्हीं सूत्रों से बनते हैं।
• π का चुनाव: त्रिज्या/व्यास 7 के गुणज में हो तो 22/7 लें; अन्यथा प्रश्न में दिया मान (प्रायः 3.14) प्रयोग करें।
• Step लिखें: 5 अंक के प्रश्न में “दिया है → सूत्र → मान → गणना → उत्तर (इकाई सहित)” क्रम अपनाएँ।
• अंत में उत्तर की समझदारी-जाँच करें – टंकी का पानी हज़ारों लीटर में आएगा, छोटी गेंद का आयतन हज़ारों cm³ में नहीं हो सकता।

📝 Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले बिना देखे हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर मिलाएँ। अंत में Answer Key table दी गई है।

Q1. एक घन का किनारा 5 cm है, तो उसका आयतन होगा —

(A) 25 cm³
(B) 125 cm³
(C) 150 cm³
(D) 100 cm³

Q2. त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है —

(A) 220 cm²
(B) 440 cm²
(C) 154 cm²
(D) 880 cm²

Q3. समान त्रिज्या और समान ऊँचाई वाले शंकु का आयतन बेलन के आयतन का होता है —

(A) बराबर
(B) दोगुना
(C) एक-तिहाई (1/3)
(D) आधा

Q4. त्रिज्या 7 cm वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है —

(A) 154 cm²
(B) 308 cm²
(C) 616 cm²
(D) 462 cm²

Q5. त्रिज्या 7 cm वाले ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है —

(A) 308 cm²
(B) 462 cm²
(C) 154 cm²
(D) 616 cm²

Q6. शंकु के छिन्नक के आयतन का सही सूत्र है —

(A) πh(R² + r²)
(B) (1/3)πh(R² + Rr + r²)
(C) (1/3)πl(R + r)
(D) πl(R + r)

Q7. 1 m³ बराबर होता है —

(A) 100 लीटर
(B) 10 लीटर
(C) 1000 लीटर
(D) 10,000 लीटर

Q8. एक घनाभ की लंबाई 2 cm, चौड़ाई 3 cm और ऊँचाई 4 cm है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है —

(A) 24 cm²
(B) 26 cm²
(C) 52 cm²
(D) 48 cm²

Q9. एक शंकु की त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm है, तो उसकी तिरछी ऊँचाई होगी —

(A) 5 cm
(B) 6 cm
(C) 7 cm
(D) 12 cm

Q10. 4 cm किनारे वाले दो घनों को जोड़कर बनाए गए घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है —

(A) 192 cm²
(B) 160 cm²
(C) 128 cm²
(D) 96 cm²

Q11. एक ठोस को पिघलाकर दूसरा ठोस बनाने पर क्या अपरिवर्तित रहता है? —

(A) पृष्ठीय क्षेत्रफल
(B) आकार
(C) आयतन
(D) ऊँचाई

Q12. त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm वाले बेलन का आयतन है —

(A) 1540 cm³
(B) 440 cm³
(C) 770 cm³
(D) 2200 cm³

Q13. खोखले बेलन (पाइप) के पदार्थ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है —

(A) πr²h
(B) 2πrh
(C) π(R² − r²)h
(D) π(R + r)h

Q14. त्रिज्या 7 cm वाले अर्धगोले का आयतन (लगभग) है —

(A) 359.33 cm³
(B) 718.67 cm³
(C) 1437.33 cm³
(D) 308 cm³

Q15. यदि एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 cm² है, तो उसका आयतन होगा —

(A) 16 cm³
(B) 32 cm³
(C) 48 cm³
(D) 64 cm³

Answer Key – उत्तरमाला

❓ Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

प्रश्न 1. Class 10 Math Chapter 13 Surface Areas and Volumes में संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय जुड़ी हुई सतह क्यों घटाते हैं?
उत्तर: क्योंकि जुड़ने के बाद वह सतह ठोस के अंदर चली जाती है और बाहर से दिखाई नहीं देती। आयतन में ऐसा नहीं होता, क्योंकि पदार्थ पूरी जगह घेरता है – आयतन केवल जोड़े जाते हैं।

प्रश्न 2. शंकु के CSA में h की जगह l क्यों लेते हैं?
उत्तर: वक्र पृष्ठ तिरछी सतह होती है, इसलिए उसका क्षेत्रफल तिरछी ऊँचाई (slant height) l से निकलता है। ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h आयतन में प्रयोग होती है। l न दिया हो तो पहले l = √(r² + h²) निकालें।

प्रश्न 3. Bihar Board परीक्षा में इस अध्याय से किस तरह के प्रश्न आते हैं?
उत्तर: अधिकतर सीधे सूत्र-आधारित संख्यात्मक प्रश्न – जैसे तंबू का canvas, टंकी की धारिता, गोले को पिघलाकर गोलियाँ बनाना या बाल्टी (छिन्नक) का आयतन। अभ्यास से यह अध्याय पूरे अंक दिला सकता है।

प्रश्न 4. छिन्नक (Frustum) असल ज़िंदगी में कहाँ दिखता है?
उत्तर: बाल्टी, गिलास (ऊपर चौड़ा, नीचे संकरा), लैम्प-शेड और कुछ ड्रम छिन्नक आकार के होते हैं। शंकु को आधार के समांतर काटकर ऊपरी छोटा शंकु हटाने पर बचा भाग ही छिन्नक कहलाता है।

प्रश्न 5. π का मान 22/7 लें या 3.14?
उत्तर: प्रश्न में जो कहा गया हो वही लें। कुछ न कहा हो तो त्रिज्या/व्यास 7 के गुणज में होने पर 22/7 सुविधाजनक रहेगा; कुछ प्रश्नों में किताब 3.14 से उत्तर देती है (जैसे लोहे के खंभे वाला प्रश्न)। एक ही प्रश्न में दोनों न मिलाएँ।

🔗 Internal Links – पिछले व अगले अध्याय पढ़ें

पूरी Class 10 गणित की पुस्तक और सभी अध्यायों की सूची यहाँ देखें: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

⬅️ पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 12 Areas Related to Circles (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल)

➡️ अगला अध्याय: Class 10 Math Chapter 14 Statistics (सांख्यिकी)

🔚 Conclusion – निष्कर्ष

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन में सफलता का एक ही मंत्र है – सूत्र याद, पहचान सही और इकाई का ध्यान।

हर प्रश्न में पहले ठोस पहचानें, फिर देखें कि रंग/कपड़ा (क्षेत्रफल) पूछा है या मात्रा/धारिता (आयतन)। ऊपर के सभी 35 हल किए गए प्रश्नों, उदाहरणों और 15 MCQ का अभ्यास करें, फिर अगले अध्याय – सांख्यिकी – की ओर बढ़ें। शुभकामनाएँ!