Class 10 Math Chapter 6 Triangles NCERT Solutions in Hindi | त्रिभुज – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

परिचय – त्रिभुज अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है?

Class 10 Math Chapter 6 Triangles के NCERT Solutions आपको इस पेज पर सरल हिंदी में, किताब (textbook) के क्रम से मिलेंगे – हर प्रश्न, हर चरण (step) के साथ।

त्रिभुज (Triangles) ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण अध्याय है। कक्षा 9 में आपने सर्वांगसमता (Congruence) पढ़ी थी; इस अध्याय में हम समरूपता (Similarity) पढ़ते हैं।

दो आकृतियाँ समरूप तब कहलाती हैं जब उनका आकार (shape) एक जैसा हो, भले ही माप (size) छोटा-बड़ा हो। जैसे – एक ही फोटो की छोटी और बड़ी कॉपी, नक्शा और असली ज़मीन।

Bihar Board (BSEB) Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से हर साल प्रश्न आते हैं – 1 अंक के वस्तुनिष्ठ प्रश्न, 2 अंक के लघु उत्तरीय और 5 अंक का एक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रमेय या संख्यात्मक)।

📌 ध्यान दें: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Thales Theorem / BPT) और पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) बोर्ड परीक्षा के सबसे पसंदीदा प्रश्न हैं।

📋 अध्याय की जानकारी (Chapter Information)

Board	Bihar Board (BSEB)
Textbook	NCERT
Class	10
Subject	Maths (गणित)
Chapter	6
Chapter Name	Class 10 Math Chapter 6 Triangles (त्रिभुज)
कुल हल किए गए प्रश्न	54 (प्रश्नावली 6.1 से 6.6 तक, सभी उप-भागों सहित)

📚 इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. 6.1 समरूप आकृतियाँ (Similar Figures) – समरूपता की परिभाषा व शर्तें
2. 6.2 आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT / Thales) – प्रश्नावली 6.2 के 10 प्रश्न
3. 6.3 त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ – AAA, SSS, SAS; प्रश्नावली 6.3 के 16 प्रश्न
4. 6.4 समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल – प्रश्नावली 6.4 के 9 प्रश्न
5. 6.5 पाइथागोरस प्रमेय – प्रश्नावली 6.5 के 8 प्रश्न
6. 6.6 वैकल्पिक प्रश्नावली – 8 मुख्य प्रश्न
7. NCERT उदाहरण, Case Study, Quick Revision, Exam Tips, MCQ Quiz व FAQ

📊 Important Formulas / Key Concepts – महत्वपूर्ण नियम व सूत्र

नियम / प्रमेय	कथन (Statement)
समरूपता की शर्तें	दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि (1) संगत कोण बराबर हों और (2) संगत भुजाएँ समानुपात में हों।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT)	△ABC में DE ∥ BC हो तो AD/DB = AE/EC
BPT का विलोम	यदि कोई रेखा दो भुजाओं को समान अनुपात में काटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
AA कसौटी	दो कोण बराबर हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
SSS कसौटी	तीनों संगत भुजाएँ समानुपात में हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
SAS कसौटी	एक कोण बराबर और उसे बनाने वाली भुजाएँ समानुपात में हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
क्षेत्रफलों का नियम	ar(△ABC)/ar(△PQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (CA/RP)²
पाइथागोरस प्रमेय	समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (लंब)² + (आधार)², अर्थात AC² = AB² + BC²
पाइथागोरस प्रमेय का विलोम	यदि एक भुजा का वर्ग शेष दो के वर्गों के योग के बराबर हो, तो सामने का कोण 90° होता है।

सबसे काम का सूत्र: समरूप त्रिभुजों में – संगत भुजाओं का अनुपात = ऊँचाइयों का अनुपात = माध्यिकाओं का अनुपात; और क्षेत्रफलों का अनुपात = इसी अनुपात का वर्ग।

चित्र: △ABC में DE ∥ BC है, इसलिए AD/DB = AE/EC (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)।

✏️ प्रश्नावली 6.1 – समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

प्रश्न 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

(i) सभी वृत्त ______ होते हैं। (सर्वांगसम / समरूप)
(ii) सभी वर्ग ______ होते हैं। (समरूप / सर्वांगसम)
(iii) सभी ______ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु / समबाहु)
(iv) समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण ______ हों और संगत भुजाएँ ______ हों।

हल:

(i) समरूप – सभी वृत्तों का आकार एक जैसा होता है, केवल त्रिज्या बदलती है।

(ii) समरूप – हर वर्ग के कोण 90° और भुजाएँ समानुपात में होती हैं।

(iii) समबाहु – हर समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण 60° होते हैं।

(iv) संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपात में हों।

प्रश्न 2. उदाहरण दीजिए: (i) दो आकृतियों का, जो समरूप हैं परंतु सर्वांगसम नहीं। (ii) दो आकृतियों का, जो समरूप नहीं हैं।

हल:

(i) 3 cm और 5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त – आकार एक जैसा (समरूप), परंतु माप अलग (सर्वांगसम नहीं)।

(ii) एक वर्ग और एक आयत – कोण बराबर हैं, परंतु भुजाओं का अनुपात समान नहीं, अतः समरूप नहीं।

प्रश्न 3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं: एक वर्ग तथा उसके साथ दी गई आकृति वाला समचतुर्भुज (rhombus), जिसके कोण वर्ग के कोणों से भिन्न हैं।

हल:

चरण 1: वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और समचतुर्भुज की भी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए भुजाएँ समानुपात (1 : 1 के अनुपात में बराबर) में हो सकती हैं।

चरण 2: परंतु वर्ग का प्रत्येक कोण 90° होता है, जबकि दिए गए समचतुर्भुज के कोण 90° नहीं हैं।

उत्तर: संगत कोण बराबर नहीं हैं, अतः दोनों चतुर्भुज समरूप नहीं हैं।

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – समरूपता के लिए कोण और भुजा-अनुपात, दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए।

✏️ प्रश्नावली 6.2 – आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT)

📌 याद रखें (प्रमेय 6.1 – BPT): यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वे दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं। उपपत्ति की रूपरेखा: DE ∥ BC खींचकर △ADE और △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात लिखें – ar(ADE)/ar(ABC) = AD/AB और ar(ADE)/ar(ABC) = AE/AC; दोनों को बराबर करने से AD/AB = AE/AC, जिससे AD/DB = AE/EC मिलता है।

प्रश्न 1. निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में (आकृति 6.14 में DE ∥ BC है): (i) EC ज्ञात कीजिए, जब AD = 1.5 cm, DB = 3 cm, AE = 1.8 cm। (ii) AD ज्ञात कीजिए, जब DB = 7.2 cm, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm।

हल (i):

चरण 1: BPT से AD/DB = AE/EC

चरण 2: मान रखें: 1.5/3 = 1.8/EC ⇒ EC = (1.8 × 3)/1.5 = 3.6

उत्तर (i): EC = 3.6 cm

हल (ii):

चरण 1: BPT से AD/DB = AE/EC ⇒ AD/7.2 = 1.8/5.4

चरण 2: AD = (1.8 × 7.2)/5.4 = 2.4

उत्तर (ii): AD = 2.4 cm

प्रश्न 2. E और F क्रमशः △PQR की भुजाओं PQ और PR पर बिंदु हैं। प्रत्येक स्थिति में बताइए कि EF ∥ QR है या नहीं: (i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm, FR = 2.4 cm। (ii) PE = 4 cm, EQ = 4.5 cm, PF = 8 cm, FR = 9 cm। (iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, PF = 0.36 cm।

हल:

(i) PE/EQ = 3.9/3 = 1.3 और PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5। दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं।

उत्तर (i): EF, QR के समांतर नहीं है।

(ii) PE/EQ = 4/4.5 = 8/9 और PF/FR = 8/9। दोनों अनुपात बराबर हैं, अतः BPT के विलोम से –

उत्तर (ii): EF ∥ QR है।

(iii) EQ = PQ − PE = 1.28 − 0.18 = 1.10 cm; FR = PR − PF = 2.56 − 0.36 = 2.20 cm। PE/EQ = 0.18/1.10 = 9/55 और PF/FR = 0.36/2.20 = 9/55। दोनों बराबर हैं।

उत्तर (iii): EF ∥ QR है।

प्रश्न 3. आकृति 6.18 में, यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD है।

हल:

चरण 1: △ABC में LM ∥ CB है, अतः BPT से AM/MB = AL/LC …(1)

चरण 2: △ADC में LN ∥ CD है, अतः BPT से AN/ND = AL/LC …(2)

चरण 3: (1) और (2) से AM/MB = AN/ND। दोनों ओर 1 जोड़ने पर (AM + MB)/MB = (AN + ND)/ND, अर्थात AB/MB = AD/ND, जिसका व्युत्क्रम लेने पर AM/AB = AN/AD (योगानुपात की प्रक्रिया से)।

सिद्ध हुआ: AM/AB = AN/AD ✅

प्रश्न 4. आकृति 6.19 में, यदि DE ∥ AC और DF ∥ AE हो, तो सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC है।

हल:

चरण 1: △ABC में DE ∥ AC है, अतः BPT से BD/DA = BE/EC …(1)

चरण 2: △ABE में DF ∥ AE है, अतः BPT से BD/DA = BF/FE …(2)

चरण 3: (1) और (2) के दायें पक्ष बराबर हैं।

सिद्ध हुआ: BF/FE = BE/EC ✅

प्रश्न 5. आकृति 6.20 में, यदि DE ∥ OQ और DF ∥ OR हो, तो सिद्ध कीजिए कि EF ∥ QR है।

हल:

चरण 1: △POQ में DE ∥ OQ है, अतः BPT से PD/DQ = PE/EO …(1)

चरण 2: △POR में DF ∥ OR है, अतः BPT से PD/DQ = PF/FR …(2)

चरण 3: (1) और (2) से PE/EO = PF/FR। अब △PQR में बिंदु E और F भुजाओं PQ व PR को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

सिद्ध हुआ: BPT के विलोम से EF ∥ QR ✅

प्रश्न 6. आकृति 6.21 में, यदि A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर इस प्रकार बिंदु हैं कि AB ∥ PQ और AC ∥ PR है, तो सिद्ध कीजिए कि BC ∥ QR है।

हल:

चरण 1: △OPQ में AB ∥ PQ है, अतः OA/AP = OB/BQ …(1)

चरण 2: △OPR में AC ∥ PR है, अतः OA/AP = OC/CR …(2)

चरण 3: (1) और (2) से OB/BQ = OC/CR। अतः △OQR में BC भुजाओं OQ व OR को समान अनुपात में काटती है।

सिद्ध हुआ: BPT के विलोम से BC ∥ QR ✅

प्रश्न 7. प्रमेय 6.1 (BPT) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

हल:

चरण 1: △ABC में D, AB का मध्य-बिंदु है, अतः AD/DB = 1।

चरण 2: D से BC के समांतर रेखा AC को E पर मिलती है। BPT से AD/DB = AE/EC ⇒ AE/EC = 1 ⇒ AE = EC।

सिद्ध हुआ: E, AC का मध्य-बिंदु है, अर्थात रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है ✅

प्रश्न 8. प्रमेय 6.2 (BPT का विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

हल:

चरण 1: △ABC में D और E क्रमशः AB व AC के मध्य-बिंदु हैं, अतः AD/DB = 1 और AE/EC = 1।

चरण 2: अतः AD/DB = AE/EC है।

सिद्ध हुआ: BPT के विलोम से DE ∥ BC ✅

प्रश्न 9. ABCD एक समलंब (trapezium) है, जिसमें AB ∥ DC है। इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि AO/BO = CO/DO है।

हल:

चरण 1: AB ∥ DC होने से एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं: ∠OAB = ∠OCD और ∠OBA = ∠ODC। साथ ही ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)।

चरण 2: AA कसौटी से △AOB ~ △COD।

चरण 3: समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती हैं: AO/CO = BO/DO। पदों को पुनः व्यवस्थित करने पर –

सिद्ध हुआ: AO/BO = CO/DO ✅

प्रश्न 10. किसी चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।

हल:

चरण 1: O से AB के समांतर एक रेखा खींचिए, जो AD को E पर मिले। △DAB में EO ∥ AB है, अतः BPT से DE/EA = DO/OB …(1)

चरण 2: दिया है AO/BO = CO/DO ⇒ DO/OB = CO/AO। (1) से DE/EA = CO/AO …(2)

चरण 3: △ADC में रेखा EO भुजाओं DA और AC को (2) के अनुसार समान अनुपात में विभाजित करती है, अतः BPT के विलोम से EO ∥ DC।

सिद्ध हुआ: EO ∥ AB और EO ∥ DC, अतः AB ∥ DC – इसलिए ABCD एक समलंब है ✅

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – BPT और उसका विलोम अनुपात वाले हर प्रश्न की कुंजी हैं; “समांतर दिया है” तो BPT, “अनुपात दिया है” तो विलोम।

✏️ प्रश्नावली 6.3 – समरूपता की कसौटियाँ (AAA, SSS, SAS)

प्रश्न 1. बताइए कि आकृति 6.25 में दिए गए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-से समरूप हैं। प्रयुक्त कसौटी और सांकेतिक रूप भी लिखिए।

हल (i): △ABC और △PQR में ∠A = ∠P = 60°, ∠B = ∠Q = 80°, ∠C = ∠R = 40°। तीनों संगत कोण बराबर हैं।

उत्तर (i): AAA कसौटी से △ABC ~ △PQR (समरूप हैं)

हल (ii): AB/QR = 2/4 = 1/2, BC/RP = 2.5/5 = 1/2, CA/PQ = 3/6 = 1/2। तीनों संगत भुजाएँ समानुपात में हैं।

उत्तर (ii): SSS कसौटी से △ABC ~ △QRP (समरूप हैं)

हल (iii): △LMP और △DEF में MP/DE = 2/4 = 1/2, PL/DF = 3/6 = 1/2, परंतु LM/EF = 2.7/5 = 27/50 ≠ 1/2। तीसरी भुजा समानुपात में नहीं है।

उत्तर (iii): समरूप नहीं हैं।

हल (iv): △MNL और △QPR में MN/QP = ML/QR = 1/2 और बीच का कोण ∠M = ∠Q = 70° बराबर है।

उत्तर (iv): SAS कसौटी से △MNL ~ △QPR (समरूप हैं)

हल (v): △ABC और △DEF में AB/DF = 2.5/5 = 1/2 और BC/EF = 3/6 = 1/2, परंतु इन भुजाओं के बीच का कोण ∠B, ∠F (= 80°) के बराबर नहीं है; दिया गया बराबर कोण ∠A = ∠F है, जो उन भुजाओं का अंतर्गत कोण नहीं है।

उत्तर (v): SAS शर्त अधूरी है, अतः समरूप नहीं हैं।

हल (vi): △DEF में ∠F = 180° − 70° − 80° = 30°। △PQR में ∠P = 180° − 80° − 30° = 70°। अब ∠D = ∠P = 70°, ∠E = ∠Q = 80°, ∠F = ∠R = 30°।

उत्तर (vi): AAA कसौटी से △DEF ~ △PQR (समरूप हैं)

प्रश्न 2. आकृति 6.26 में △ODC ~ △OBA है, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: DOB एक सीधी रेखा है, अतः ∠DOC = 180° − ∠BOC = 180° − 125° = 55°।

चरण 2: △ODC में कोणों का योग: ∠DCO = 180° − ∠DOC − ∠CDO = 180° − 55° − 70° = 55°।

चरण 3: △ODC ~ △OBA में संगत कोण बराबर होते हैं, अतः ∠OAB = ∠OCD = 55°।

उत्तर: ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°

प्रश्न 3. समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। समरूपता की कसौटी का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि OA/OC = OB/OD है।

हल:

चरण 1: △OAB और △OCD में ∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण, क्योंकि AB ∥ DC), ∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण) और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)।

चरण 2: AA कसौटी से △OAB ~ △OCD।

सिद्ध हुआ: संगत भुजाओं का अनुपात OA/OC = OB/OD ✅

प्रश्न 4. आकृति 6.27 में, यदि QR/QS = QT/PR है और ∠1 = ∠2 है, तो सिद्ध कीजिए कि △PQS ~ △TQR है।

हल:

चरण 1: △PQR में ∠1 = ∠2 है। बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, अतः PR = PQ।

चरण 2: दिया है QR/QS = QT/PR। PR = PQ रखने पर QR/QS = QT/PQ, अर्थात QP/QT = QS/QR।

चरण 3: △PQS और △TQR में ∠Q उभयनिष्ठ है और उसे बनाने वाली भुजाएँ समानुपात में हैं।

सिद्ध हुआ: SAS कसौटी से △PQS ~ △TQR ✅

प्रश्न 5. △PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार हैं कि ∠P = ∠RTS है। सिद्ध कीजिए कि △RPQ ~ △RTS है।

हल:

चरण 1: △RPQ और △RTS में ∠P = ∠RTS (दिया है)।

चरण 2: ∠R दोनों में उभयनिष्ठ है।

सिद्ध हुआ: AA कसौटी से △RPQ ~ △RTS ✅

प्रश्न 6. आकृति 6.30 में, यदि △ABE ≅ △ACD है, तो सिद्ध कीजिए कि △ADE ~ △ABC है।

हल:

चरण 1: △ABE ≅ △ACD (सर्वांगसम) है, अतः AB = AC और AE = AD।

चरण 2: AB = AC और AE = AD से AB/AD = AC/AE मिलता है।

चरण 3: △ADE और △ABC में ∠A उभयनिष्ठ है और उसे बनाने वाली भुजाएँ समानुपात में हैं।

सिद्ध हुआ: SAS कसौटी से △ADE ~ △ABC ✅

प्रश्न 7. आकृति 6.31 में, △ABC के शीर्षलंब (altitudes) AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि: (i) △AEP ~ △CDP (ii) △ABD ~ △CBE (iii) △AEP ~ △ADB (iv) △PDC ~ △BEC

हल:

(i) ∠AEP = ∠CDP = 90° (शीर्षलंब) और ∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण) ⇒ AA से △AEP ~ △CDP ✅

(ii) ∠ADB = ∠CEB = 90° और ∠B उभयनिष्ठ ⇒ AA से △ABD ~ △CBE ✅

(iii) ∠AEP = ∠ADB = 90° और ∠A उभयनिष्ठ ⇒ AA से △AEP ~ △ADB ✅

(iv) ∠PDC = ∠BEC = 90° और ∠C उभयनिष्ठ ⇒ AA से △PDC ~ △BEC ✅

📌 नोट: शीर्षलंब वाले प्रश्नों में हमेशा पहले 90° के कोण और फिर उभयनिष्ठ/शीर्षाभिमुख कोण खोजें – AA कसौटी तुरंत लग जाती है।

प्रश्न 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD को बढ़ाकर एक बिंदु E लिया गया है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि △ABE ~ △CFB है।

हल:

चरण 1: ∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।

चरण 2: AD ∥ BC होने से ∠AEB = ∠EBC (एकांतर कोण), अर्थात ∠AEB = ∠FBC के संगत है।

सिद्ध हुआ: AA कसौटी से △ABE ~ △CFB ✅

प्रश्न 9. आकृति 6.33 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जो क्रमशः B और M पर समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि: (i) △ABC ~ △AMP (ii) CA/PA = BC/MP

हल:

चरण 1: ∠ABC = ∠AMP = 90° और ∠A दोनों में उभयनिष्ठ है।

चरण 2: AA कसौटी से △ABC ~ △AMP – यही (i) है।

सिद्ध हुआ: (i) △ABC ~ △AMP ✅; (ii) समरूपता से संगत भुजाएँ समानुपात में हैं, अतः CA/PA = BC/MP ✅

प्रश्न 10. CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के अर्धक हैं, जिनमें D और H क्रमशः △ABC और △EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि △ABC ~ △FEG है, तो सिद्ध कीजिए कि: (i) CD/GH = AC/FG (ii) △DCB ~ △HGE (iii) △DCA ~ △HGF

हल:

चरण 1: △ABC ~ △FEG है, अतः ∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠ACB = ∠FGE और AB/FE = BC/EG = CA/GF।

चरण 2: CD और GH अर्धक हैं, अतः ∠ACD = (1/2)∠ACB और ∠FGH = (1/2)∠FGE, इसलिए ∠ACD = ∠FGH।

चरण 3: △DCA और △HGF में ∠A = ∠F और ∠ACD = ∠FGH ⇒ AA से △DCA ~ △HGF – यही (iii) है। इसी से CD/GH = AC/FG मिलता है – यही (i) है।

चरण 4: इसी प्रकार ∠DCB = ∠HGE और ∠B = ∠E लेने से AA से △DCB ~ △HGE – यही (ii) है।

सिद्ध हुआ: (i), (ii) और (iii) तीनों ✅

प्रश्न 11. आकृति 6.35 में, AB = AC वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है, जिसमें E, BC को बढ़ाने से बना एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि △ABD ~ △ECF है।

हल:

चरण 1: AB = AC है, अतः आधार कोण ∠B = ∠ACB, अर्थात ∠B = ∠ECF।

चरण 2: ∠ADB = 90° (AD ⊥ BC) और ∠EFC = 90° (EF ⊥ AC), अतः ∠ADB = ∠EFC।

सिद्ध हुआ: AA कसौटी से △ABD ~ △ECF ✅

प्रश्न 12. यदि AD और PM क्रमशः त्रिभुजों ABC और PQR की माध्यिकाएँ (medians) हैं, जहाँ △ABC ~ △PQR है, तो सिद्ध कीजिए कि AB/PQ = AD/PM है।

हल:

चरण 1: △ABC ~ △PQR से AB/PQ = BC/QR और ∠B = ∠Q। माध्यिकाएँ BC व QR को आधा करती हैं, अतः BC/QR = BD/QM, इसलिए AB/PQ = BD/QM।

चरण 2: △ABD और △PQM में AB/PQ = BD/QM और बीच का कोण ∠B = ∠Q बराबर है ⇒ SAS से △ABD ~ △PQM।

सिद्ध हुआ: समरूपता से AD/PM = AB/PQ, अर्थात AB/PQ = AD/PM ✅

प्रश्न 13. △ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC है। सिद्ध कीजिए कि CA² = CB × CD है।

हल:

चरण 1: △ABC और △DAC में ∠BAC = ∠ADC (दिया है) और ∠C उभयनिष्ठ है ⇒ AA से △ABC ~ △DAC।

चरण 2: संगत भुजाओं का अनुपात: CB/CA = CA/CD।

सिद्ध हुआ: तिर्यक गुणन से CA² = CB × CD ✅

प्रश्न 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD, दूसरे त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ व PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपात में हैं। सिद्ध कीजिए कि △ABC ~ △PQR है।

हल:

चरण 1: AD को बिंदु E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि AD = DE हो। तब △ABD ≅ △ECD (SAS) होता है, जिससे AB = EC और ∠BAD = ∠CED।

चरण 2: इसी प्रकार PM को बढ़ाकर बिंदु L लें, जहाँ PM = ML और PQ = RL तथा ∠QPM = ∠RML।

चरण 3: दिए गए समानुपात AB/PQ = AC/PR = AD/PM से EC/RL = AC/PR = AE/PL मिलता है ⇒ SSS से △AEC ~ △PLR ⇒ ∠CAE = ∠RPL और ∠CED = ∠PML, अर्थात ∠BAD = ∠QPM।

चरण 4: दोनों को जोड़ने पर ∠BAC = ∠QPR। अब AB/PQ = AC/PR और बीच का कोण बराबर है।

सिद्ध हुआ: SAS कसौटी से △ABC ~ △PQR ✅

प्रश्न 15. एक 6 m लंबे खंभे की छाया भूमि पर 4 m लंबी पड़ती है। उसी समय एक मीनार (tower) की छाया 28 m लंबी पड़ती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: एक ही समय पर सूर्य की किरणों का कोण समान होता है, अतः खंभे वाला त्रिभुज और मीनार वाला त्रिभुज समरूप हैं (AA)।

चरण 2: ऊँचाइयों और छायाओं का अनुपात बराबर होगा: 6/4 = h/28।

चरण 3: h = (6 × 28)/4 = 42।

उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 42 m

प्रश्न 16. यदि AD और PM क्रमशः त्रिभुजों ABC और PQR की माध्यिकाएँ हैं, जहाँ △ABC ~ △PQR है, तो सिद्ध कीजिए कि संगत माध्यिकाओं का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, अर्थात AD/PM = AB/PQ है (प्रश्न 12 का ही दूसरा रूप – परीक्षा में अक्सर इसी रूप में पूछा जाता है)।

हल:

चरण 1: यह प्रश्न 12 का निष्कर्ष ही है: वहाँ △ABD ~ △PQM सिद्ध हुआ था।

चरण 2: △ABD ~ △PQM की संगत भुजाओं से AD/PM = AB/PQ सीधे मिलता है।

सिद्ध हुआ: AD/PM = AB/PQ ✅ (माध्यिकाओं का अनुपात = भुजाओं का अनुपात)

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – समरूपता सिद्ध करने के लिए AA सबसे आसान कसौटी है; कोण न मिलें तो SSS/SAS के लिए अनुपात बनाएँ।

✏️ प्रश्नावली 6.4 – समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। रूपरेखा: △ABC ~ △PQR में शीर्षलंब AL व PM खींचें। ar(ABC)/ar(PQR) = BC/QR × AL/PM और △ABL ~ △PQM से AL/PM = AB/PQ = BC/QR, अतः अनुपात = (BC/QR)²।

प्रश्न 1. दो समरूप त्रिभुजों ABC और DEF के क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं। यदि EF = 15.4 cm है, तो BC ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: ar(ABC)/ar(DEF) = (BC/EF)² ⇒ 64/121 = (BC/15.4)²

चरण 2: BC/15.4 = 8/11 ⇒ BC = (15.4 × 8)/11 = 11.2

उत्तर: BC = 11.2 cm

प्रश्न 2. एक समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ar(△AOD) = ar(△BOC) है।

हल:

चरण 1: △ABC और △ABD एक ही आधार AB पर और एक ही समांतर रेखाओं AB व DC के बीच स्थित हैं, अतः ar(ABC) = ar(ABD)।

चरण 2: दोनों से ar(AOB) घटाने पर ar(ABC) − ar(AOB) = ar(ABD) − ar(AOB)।

सिद्ध हुआ: ar(AOD) = ar(BOC) ✅

प्रश्न 3. आकृति 6.44 में, ABC और DBC एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज हैं। यदि AD, BC को बिंदु O पर काटती है, तो सिद्ध कीजिए कि ar(ABC)/ar(DBC) = AO/OD है।

हल:

चरण 1: A और D से BC पर लंब खींचिए: AL ⊥ BC और DM ⊥ BC। तब ar(ABC)/ar(DBC) = AL/DM (आधार एक ही BC है)।

चरण 2: △ALO और △DMO में ∠ALO = ∠DMO = 90° और ∠AOL = ∠DOM (शीर्षाभिमुख) ⇒ AA से △ALO ~ △DMO ⇒ AL/DM = AO/OD।

सिद्ध हुआ: ar(ABC)/ar(DBC) = AO/OD ✅

प्रश्न 4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम (congruent) होते हैं।

हल:

चरण 1: △ABC ~ △PQR और ar(ABC) = ar(PQR) है। क्षेत्रफलों के नियम से (AB/PQ)² = ar(ABC)/ar(PQR) = 1 ⇒ AB = PQ।

चरण 2: इसी प्रकार BC = QR और CA = RP।

सिद्ध हुआ: SSS सर्वांगसमता से △ABC ≅ △PQR ✅

प्रश्न 5. किसी △ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E और F हैं। △DEF और △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: मध्य-बिंदु प्रमेय से EF ∥ AB और EF = (1/2)AB। इसी प्रकार हर संगत भुजा आधी है, अतः △DEF ~ △ABC और भुजा-अनुपात 1 : 2 है।

चरण 2: क्षेत्रफलों का अनुपात = (1/2)² = 1/4।

उत्तर: ar(DEF) : ar(ABC) = 1 : 4

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं (medians) के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

हल:

चरण 1: △ABC ~ △DEF में AP और DQ संगत माध्यिकाएँ हैं। △ABP और △DEQ में AB/DE = BP/EQ (क्योंकि BP = BC/2, EQ = EF/2 और BC/EF = AB/DE) तथा ∠B = ∠E है ⇒ SAS से △ABP ~ △DEQ।

चरण 2: अतः AP/DQ = AB/DE।

चरण 3: क्षेत्रफलों का नियम लगाने पर ar(ABC)/ar(DEF) = (AB/DE)² = (AP/DQ)²।

सिद्ध हुआ: क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग ✅

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की एक भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

हल:

चरण 1: माना वर्ग की भुजा = a। तब विकर्ण = a√2।

चरण 2: सभी समबाहु त्रिभुज परस्पर समरूप होते हैं, और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग = (a/(a√2))² = 1/2।

सिद्ध हुआ: भुजा पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = विकर्ण पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा ✅

प्रश्न 8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, BC का मध्य-बिंदु है। △BDE और △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना BC = 2x। तब D मध्य-बिंदु होने से BD = x, जो △BDE की भुजा है।

चरण 2: दोनों समबाहु हैं, अतः समरूप हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात = (x/(2x))² = (1/2)² = 1/4।

उत्तर: ar(BDE) : ar(ABC) = 1 : 4

प्रश्न 9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4 : 9 है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है – (A) 2 : 3 (B) 4 : 9 (C) 81 : 16 (D) 16 : 81

हल: क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग = (4/9)² = 16/81।

उत्तर: (D) 16 : 81

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – क्षेत्रफल देखते ही भुजा-अनुपात का वर्ग लगाएँ, और भुजा चाहिए तो क्षेत्रफल-अनुपात का वर्गमूल।

✏️ प्रश्नावली 6.5 – पाइथागोरस प्रमेय

चित्र: समकोण त्रिभुज में कर्ण समकोण के सामने वाली (सबसे लंबी) भुजा होती है और AC² = AB² + BC² लागू होता है।

प्रमेय 6.7 (पाइथागोरस प्रमेय): समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। उपपत्ति की रूपरेखा: △ABC में ∠B = 90° लें और B से कर्ण AC पर लंब BD खींचें। △ADB ~ △ABC (AA) से AB² = AD × AC और △BDC ~ △ABC से BC² = CD × AC। दोनों को जोड़ने पर AB² + BC² = AC(AD + CD) = AC²। यही परीक्षा में सबसे अधिक पूछी जाने वाली उपपत्ति है।

प्रश्न 1. निम्नलिखित भुजाओं वाले त्रिभुजों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि वह समकोण त्रिभुज है या नहीं। समकोण होने पर कर्ण की लंबाई भी लिखिए: (i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm (iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल:

(i) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ⇒ समकोण त्रिभुज है, कर्ण = 25 cm ✅

(ii) 3² + 6² = 9 + 36 = 45 ≠ 64 = 8² ⇒ समकोण नहीं है।

(iii) 50² + 80² = 2500 + 6400 = 8900 ≠ 10000 = 100² ⇒ समकोण नहीं है।

(iv) 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ⇒ समकोण त्रिभुज है, कर्ण = 13 cm ✅

प्रश्न 2. △PQR में ∠P समकोण है और PM ⊥ QR है (M, QR पर स्थित है)। सिद्ध कीजिए कि PM² = QM × MR है।

हल:

चरण 1: △PQM और △PRM में ऊँचाई PM साझा है। △PQM ~ △RPM होता है (दोनों मूल त्रिभुज के समरूप हैं – AA से: समकोण और उभयनिष्ठ तीव्र कोण)।

चरण 2: समरूपता से QM/PM = PM/MR।

सिद्ध हुआ: तिर्यक गुणन से PM² = QM × MR ✅

प्रश्न 3. आकृति 6.53 में, ABD एक त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। सिद्ध कीजिए कि: (i) AB² = BC × BD (ii) AC² = BC × DC (iii) AD² = BD × DC

हल:

चरण 1: समकोण त्रिभुज ABD में कर्ण BD पर ऊँचाई AC है। ऊँचाई से बने दोनों छोटे त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं (AA कसौटी – एक समकोण और एक उभयनिष्ठ कोण)।

चरण 2: △ABC ~ △ABD (AA) ⇒ AB/BD = BC/AB ⇒ AB² = BC × BD – यही (i) है।

चरण 3: △ADC ~ △ABD (AA) ⇒ AD/BD = DC/AD ⇒ AD² = BD × DC – यही (iii) है। साथ ही △ABC ~ △ADC ⇒ AC/DC = BC/AC ⇒ AC² = BC × DC – यही (ii) है।

सिद्ध हुआ: (i), (ii), (iii) तीनों संबंध ✅

प्रश्न 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

हल:

चरण 1: समद्विबाहु होने से AC = BC।

चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय से AB² = AC² + BC² = AC² + AC² = 2AC²।

सिद्ध हुआ: AB² = 2AC² ✅

प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल:

चरण 1: AC = BC है, अतः AC² + BC² = AC² + AC² = 2AC²।

चरण 2: दिया है AB² = 2AC², अतः AB² = AC² + BC²।

सिद्ध हुआ: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से ∠C = 90°, अर्थात ABC समकोण त्रिभुज है ✅

प्रश्न 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि BD = (1/3)BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² है।

हल:

चरण 1: माना AB = BC = CA = a। A से BC पर लंब AE खींचिए। समबाहु त्रिभुज में AE आधार को आधा करता है, अतः BE = a/2 और AE² = a² − (a/2)² = 3a²/4।

चरण 2: BD = a/3 है, अतः DE = BE − BD = a/2 − a/3 = a/6।

चरण 3: △ADE में AD² = AE² + DE² = 3a²/4 + a²/36 = (27a² + a²)/36 = 28a²/36 = 7a²/9।

सिद्ध हुआ: AD² = (7/9)AB², अर्थात 9AD² = 7AB² ✅

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि किसी समांतर चतुर्भुज (parallelogram) की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल:

चरण 1: समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC व BD बिंदु O पर मिलते हैं; विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए AO माध्यिका है।

चरण 2: △ABC में माध्यिका-संबंध (अपोलोनियस प्रमेय, जो पाइथागोरस से सिद्ध होता है) से AB² + BC² = 2BO² + 2AO²। इसी प्रकार △ADC में AD² + DC² = 2DO² + 2AO²।

चरण 3: BO = DO = BD/2 रखकर दोनों को जोड़ने पर AB² + BC² + CD² + DA² = BD² + AC² मिलता है।

सिद्ध हुआ: भुजाओं के वर्गों का योग = विकर्णों के वर्गों का योग ✅

प्रश्न 8. आकृति 6.63 में, △ABC के अंदर एक बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ CA और OF ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि: (i) OA² + OB² + OC² − OD² − OE² − OF² = AF² + BD² + CE² (ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल:

चरण 1: OF ⊥ AB है, अतः △OFA में OA² = OF² + AF²। इसी प्रकार △ODB में OB² = OD² + BD² और △OEC में OC² = OE² + CE²।

चरण 2: तीनों को जोड़ने पर OA² + OB² + OC² = (OD² + OE² + OF²) + (AF² + BD² + CE²) – यही (i) है।

चरण 3: (ii) के लिए दूसरे समूह से लिखें: OA² = OE² + AE², OB² = OF² + BF², OC² = OD² + CD²। इन्हें जोड़कर (i) के परिणाम से तुलना करने पर AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF² मिलता है।

सिद्ध हुआ: (i) और (ii) दोनों ✅

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – समकोण त्रिभुज दिखते ही पाइथागोरस लगाएँ; ऊँचाई (altitude) वाले प्रश्नों में छोटे त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।

✏️ प्रश्नावली 6.6 (वैकल्पिक) – मुख्य प्रश्न

प्रश्न 1. आकृति 6.70 में, PS/SQ = PT/TR है और ∠PST = ∠PRQ है। सिद्ध कीजिए कि △PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल:

चरण 1: PS/SQ = PT/TR ⇒ (विलोम BPT की तैयारी हेतु 1 जोड़ने पर) PS/PQ = PT/PR, अतः ST ∥ QR (BPT का विलोम)।

चरण 2: ST ∥ QR से ∠PST = ∠PQR (संगत कोण)। दिया है ∠PST = ∠PRQ, अतः ∠PQR = ∠PRQ।

सिद्ध हुआ: बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: PR = PQ, अतः △PQR समद्विबाहु है ✅

प्रश्न 2. △ABC में ∠B = 90° है। बिंदु D और E, भुजा BC को तीन बराबर भागों (trisect) में विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि 8AE² = 3AC² + 5AD² है।

हल:

चरण 1: माना BD = DE = EC = x और AB = h। पाइथागोरस प्रमेय से तीनों समकोण त्रिभुजों में: AD² = h² + x², AE² = h² + (2x)² = h² + 4x², AC² = h² + (3x)² = h² + 9x²।

चरण 2: दायाँ पक्ष: 3AC² + 5AD² = 3(h² + 9x²) + 5(h² + x²) = 3h² + 27x² + 5h² + 5x² = 8h² + 32x² = 8(h² + 4x²)।

चरण 3: यह 8AE² के बराबर है।

सिद्ध हुआ: 8AE² = 3AC² + 5AD² ✅

प्रश्न 3. दो खंभे, जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं, समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि उनके पादों (feet) के बीच की दूरी 12 m है, तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: ऊँचाइयों का अंतर = 11 − 6 = 5 m। छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे पर भूमि के समांतर रेखा खींचने पर एक समकोण त्रिभुज बनता है, जिसकी भुजाएँ 5 m व 12 m हैं।

चरण 2: शीर्षों की दूरी = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13।

उत्तर: शीर्षों के बीच की दूरी = 13 m

प्रश्न 4. △ABC में AD ⊥ BC है और BD/DA = DA/DC है। सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है (∠A = 90°)।

हल:

चरण 1: △ABD और △CAD में ∠ADB = ∠CDA = 90° (क्योंकि AD ⊥ BC) और इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ BD/AD = AD/CD समानुपात में हैं (दिया है BD/DA = DA/DC)।

चरण 2: SAS कसौटी से △ABD ~ △CAD। अतः ∠BAD = ∠ACD और ∠ABD = ∠CAD।

चरण 3: ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = ∠ACD + ∠ABD। अब △ABC के कोणों का योग: ∠BAC + (∠ACD + ∠ABD) = 180° ⇒ 2∠BAC = 180°।

सिद्ध हुआ: ∠BAC = 90°, अर्थात ABC समकोण त्रिभुज है ✅

प्रश्न 5. △ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि BD/CD = AB/AC है। सिद्ध कीजिए कि AD, ∠BAC का अर्धक (bisector) है।

हल:

चरण 1: C से AD के समांतर एक रेखा खींचिए, जो बढ़ाई गई BA को E पर मिले। तब BPT की तरह BD/CD = BA/AE मिलता है।

चरण 2: दिया है BD/CD = AB/AC, अतः BA/AE = AB/AC ⇒ AE = AC। इसलिए △AEC समद्विबाहु है और ∠E = ∠ACE।

चरण 3: CE ∥ AD से ∠E = ∠BAD (संगत कोण) और ∠ACE = ∠DAC (एकांतर कोण)। अतः ∠BAD = ∠DAC।

सिद्ध हुआ: AD, ∠BAC का अर्धक है ✅ (यह कोण-अर्धक प्रमेय का विलोम है)

प्रश्न 6. आकृति में यदि AD ⊥ BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AB² + CD² = BD² + AC² है।

हल:

चरण 1: △ABD में AB² = AD² + BD² और △ADC में AC² = AD² + CD² (पाइथागोरस)।

चरण 2: पहले से AD² = AB² − BD²। इसे दूसरे में रखने पर AC² = AB² − BD² + CD²।

सिद्ध हुआ: पद बदलने पर AB² + CD² = BD² + AC² ✅

प्रश्न 7. किसी आयत ABCD के अंदर एक बिंदु O है। सिद्ध कीजिए कि OB² + OD² = OA² + OC² है।

हल:

चरण 1: O से AB पर लंब OE और CD पर लंब OF खींचिए (E, AB पर और F, CD पर; EF, AB व CD दोनों के लंबवत होगी)। पाइथागोरस प्रमेय से: OA² = OE² + AE², OB² = OE² + BE², OC² = OF² + CF², OD² = OF² + DF²।

चरण 2: आयत में AE = DF और BE = CF होता है (सम्मुख भुजाएँ व लंब-खंड बराबर)।

चरण 3: OA² + OC² = OE² + OF² + AE² + CF² और OB² + OD² = OE² + OF² + BE² + DF²। चरण 2 से दोनों योग बराबर हैं।

सिद्ध हुआ: OB² + OD² = OA² + OC² ✅

प्रश्न 8. किसी समचतुर्भुज (rhombus) के विकर्ण 16 cm और 12 cm हैं। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, अतः आधे विकर्ण 8 cm व 6 cm होंगे और भुजा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होगी।

चरण 2: भुजा = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10।

उत्तर: समचतुर्भुज की भुजा = 10 cm

इस प्रश्नावली में हमने सीखा – वैकल्पिक प्रश्नावली के प्रश्न पुराने ही नियमों (BPT, समरूपता, पाइथागोरस) के मिश्रित रूप होते हैं।

📖 NCERT उदाहरण (Examples) – मुख्य उदाहरण सरल हल सहित

उदाहरण 1. △ABC में DE ∥ BC है, जहाँ D, AB पर और E, AC पर है। यदि AD = 2 cm, DB = 3 cm और AE = 3 cm हो, तो EC ज्ञात कीजिए।

हल: BPT से AD/DB = AE/EC ⇒ 2/3 = 3/EC ⇒ EC = (3 × 3)/2 = 4.5

उत्तर: EC = 4.5 cm (और AC = AE + EC = 7.5 cm)

उदाहरण 2. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ∥ DC है। E और F क्रमशः असमांतर भुजाओं AD और BC पर बिंदु हैं, जहाँ EF ∥ AB है। सिद्ध कीजिए कि AE/ED = BF/FC है।

हल:

चरण 1: विकर्ण AC खींचिए, जो EF को O पर काटे। △ADC में EO ∥ DC है, अतः BPT से AE/ED = AO/OC।

चरण 2: △ABC में OF ∥ AB है, अतः BPT से AO/OC = BF/FC।

सिद्ध हुआ: दोनों से AE/ED = BF/FC ✅

उदाहरण 3. △ABC में AD एक माध्यिका है और E, AD का मध्य-बिंदु है। BE को बढ़ाने पर वह AC को F पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि AF = (1/3)AC है।

हल:

चरण 1: D से BF के समांतर एक रेखा खींचिए, जो AC को G पर मिले। △BCF में D, BC का मध्य-बिंदु है और DG ∥ BF है, अतः प्रश्नावली 6.2 के प्रश्न 7 के परिणाम से G, CF का मध्य-बिंदु है: CG = GF।

चरण 2: △ADG में E, AD का मध्य-बिंदु है और EF ∥ DG है, अतः F, AG का मध्य-बिंदु है: AF = FG।

सिद्ध हुआ: AF = FG = GC, अतः AF = (1/3)AC ✅

📖 Case Study – पेड़ की ऊँचाई मापना

राम ने देखा कि दोपहर के समय उसके घर के पास लगे 1.5 m ऊँचे खंभे की छाया 2 m लंबी पड़ रही है। उसी समय पास के पेड़ की छाया 12 m लंबी मापी गई। राम जानता है कि एक ही समय पर सभी वस्तुओं की ऊँचाई और उनकी छाया का अनुपात बराबर होता है, क्योंकि सूर्य की किरणें समांतर आती हैं और बने त्रिभुज समरूप होते हैं। इस जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

Q1. पेड़ की ऊँचाई कितनी है? —

(A) 8 m
(B) 9 m
(C) 10 m
(D) 16 m

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 9 m – अनुपात से h/12 = 1.5/2 ⇒ h = (1.5 × 12)/2 = 9 m।

Q2. यदि किसी 3 m ऊँचे खंभे की छाया उसी समय मापी जाए, तो वह कितनी लंबी होगी? —

(A) 3 m
(B) 4 m
(C) 4.5 m
(D) 6 m

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) 4 m – छाया/ऊँचाई = 2/1.5 = 4/3, अतः छाया = 3 × 4/3 = 4 m।

Q3. इस विधि में बने त्रिभुज किस कसौटी से समरूप होते हैं? —

(A) SSS
(B) SAS
(C) AA
(D) RHS

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) AA – वस्तु और भूमि के बीच 90° का कोण तथा सूर्य-किरण का कोण दोनों त्रिभुजों में बराबर होता है।

Q4. यदि पेड़ की छाया किसी अन्य समय 16 m हो जाए और खंभे की छाया उसी समय 2 m से बढ़कर 8/3 m हो जाए, तो अनुपात क्यों समान रहता है? सही कथन चुनिए —

(A) क्योंकि पेड़ की ऊँचाई बदल गई है
(B) क्योंकि दोनों त्रिभुज अब भी समरूप हैं और संगत भुजाओं का अनुपात बराबर रहता है
(C) क्योंकि छाया हमेशा ऊँचाई के बराबर होती है
(D) ऐसा संभव नहीं है

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) एक ही समय पर कोण समान रहने से त्रिभुज समरूप रहते हैं, इसलिए ऊँचाई/छाया का अनुपात हर वस्तु के लिए एक ही रहता है।

⭐ Quick Revision – Important Points

• समरूपता की दोनों शर्तें साथ-साथ पूरी होनी चाहिए – केवल कोण बराबर या केवल भुजाएँ समानुपात में होना (बहुभुजों के लिए) पर्याप्त नहीं है।
• सभी वर्ग, सभी समबाहु त्रिभुज और सभी वृत्त हमेशा समरूप होते हैं।
• BPT में अनुपात का क्रम याद रखें: AD/DB = AE/EC; इसका दूसरा सही रूप AD/AB = AE/AC भी है – दोनों को आपस में न मिलाएँ।
• क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले भुजा-अनुपात निकालें, फिर उसका वर्ग करें; ऊँचाई/माध्यिका चाहिए तो वर्गमूल लें।
• पाइथागोरस त्रिक याद रखें: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (12, 35, 37) और इनके गुणज।
• समरूपता का कथन हमेशा संगत क्रम में लिखें: △ABC ~ △PQR का अर्थ है A↔P, B↔Q, C↔R।

⚠️ Aam Galtiyan (Common Mistakes)

• SAS कसौटी में बराबर कोण उन दो भुजाओं के बीच का कोण होना चाहिए, जिनका अनुपात लिया गया है – प्रश्नावली 6.3 के प्रश्न 1(v) जैसी गलती न करें।
• क्षेत्रफल के अनुपात में वर्ग करना भूल जाना – सबसे आम गलती।
• प्रमेय के प्रश्न में केवल कथन लिखकर छोड़ देना; “दिया है – सिद्ध करना है – उपपत्ति” लिखना ज़रूरी है।
• समरूपता लिखते समय शीर्षों का क्रम बिगाड़ देना, जिससे संगत भुजाएँ गलत हो जाती हैं।
• लंबाई में cm/m और क्षेत्रफल में cm²/m² इकाई न लिखना।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• प्रमेय का प्रश्न (5 अंक): चित्र बनाकर नामांकन करें, फिर “दिया है – सिद्ध करना है – उपपत्ति” तीन भागों में लिखें।
• MCQ की तैयारी: BSEB में लगभग आधे प्रश्न वस्तुनिष्ठ होते हैं; क्षेत्रफल-अनुपात और पाइथागोरस त्रिक वाले प्रश्न लगभग हर वर्ष आते हैं।
• रफ़ कार्य: अनुपात पहले सरलतम रूप में लिखें, फिर तिर्यक गुणन करें।
• पिछले वर्षों के BSEB प्रश्न-पत्रों से इस अध्याय के कम-से-कम 10 प्रश्न हल करके जाएँ – प्रश्न अक्सर दोहराए जाते हैं।

📝 Class 10 Math Chapter 6 Triangles MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले बिना देखे हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर मिलाएँ। अंत में Answer Key table दी गई है।

Q1. दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि —

(A) केवल उनके कोण बराबर हों
(B) केवल उनकी भुजाएँ समानुपात में हों
(C) संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपात में हों
(D) उनके क्षेत्रफल बराबर हों

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) समरूपता के लिए दोनों शर्तें एक साथ आवश्यक हैं।

Q2. निम्न में से कौन-सी आकृतियों का युग्म हमेशा समरूप नहीं होता? —

(A) दो वर्ग
(B) दो आयत
(C) दो समबाहु त्रिभुज
(D) दो वृत्त

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) अलग-अलग आयतों की लंबाई-चौड़ाई का अनुपात अलग हो सकता है।

Q3. △ABC में DE ∥ BC है। यदि AD = 3 cm, DB = 6 cm और AE = 2 cm हो, तो EC = ? —

(A) 2 cm
(B) 3 cm
(C) 4 cm
(D) 6 cm

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) 4 cm – BPT से AE/EC = AD/DB = 1/2, इसलिए EC = 2 × 2 = 4 cm।

Q4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय को किस गणितज्ञ के नाम से जाना जाता है? —

(A) पाइथागोरस
(B) थेल्स
(C) यूक्लिड
(D) आर्यभट

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) इसे Thales Theorem भी कहते हैं।

Q5. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2 : 3 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा —

(A) 2 : 3
(B) 3 : 2
(C) 4 : 9
(D) 8 : 27

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) क्षेत्रफलों का अनुपात = (2/3)² = 4/9।

Q6. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25 : 36 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात होगा —

(A) 25 : 36
(B) 5 : 6
(C) 6 : 5
(D) 625 : 1296

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) भुजा-अनुपात = √(25/36) = 5/6।

Q7. एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 cm और 12 cm हैं, तो कर्ण होगा —

(A) 13 cm
(B) 14 cm
(C) 15 cm
(D) 21 cm

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) √(9² + 12²) = √225 = 15 cm।

Q8. निम्न में से कौन-सा समूह समकोण त्रिभुज की भुजाएँ नहीं हो सकता? —

(A) 5, 12, 13
(B) 7, 24, 25
(C) 8, 15, 17
(D) 4, 5, 6

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) 4² + 5² = 41 ≠ 36 = 6², इसलिए यह समकोण त्रिभुज नहीं है।

Q9. AA समरूपता कसौटी में कितने कोणों का बराबर होना पर्याप्त है? —

(A) एक
(B) दो
(C) तीन
(D) कोई नहीं

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) दो कोण बराबर हों तो तीसरा स्वतः बराबर हो जाता है।

Q10. दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात किसके बराबर होता है? —

(A) क्षेत्रफलों के अनुपात के
(B) संगत भुजाओं के अनुपात के
(C) भुजाओं के वर्गों के अनुपात के
(D) परिमाप के वर्ग के

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) माध्यिका, ऊँचाई आदि सभी रैखिक माप भुजाओं के अनुपात में ही होते हैं।

Q11. यदि △ABC ~ △PQR और AB/PQ = 1/3 है, तो ar(△ABC) : ar(△PQR) = ? —

(A) 1 : 3
(B) 3 : 1
(C) 1 : 9
(D) 1 : 27

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) क्षेत्रफल अनुपात = (1/3)² = 1/9।

Q12. किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण 25 cm और एक भुजा 7 cm है, तो दूसरी भुजा होगी —

(A) 18 cm
(B) 20 cm
(C) 22 cm
(D) 24 cm

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (D) √(25² − 7²) = √576 = 24 cm।

Q13. △ABC में AB और AC के मध्य-बिंदु क्रमशः D और E हैं, तो DE और BC का अनुपात होगा —

(A) 1 : 1
(B) 1 : 2
(C) 2 : 1
(D) 1 : 4

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) मध्य-बिंदु रेखाखंड तीसरी भुजा का आधा और समांतर होता है।

Q14. दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 36 cm और 24 cm हैं। यदि छोटे त्रिभुज की एक भुजा 6 cm है, तो बड़े त्रिभुज की संगत भुजा होगी —

(A) 4 cm
(B) 8 cm
(C) 9 cm
(D) 12 cm

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (C) परिमापों का अनुपात 3 : 2, इसलिए भुजा = 6 × 3/2 = 9 cm।

Q15. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में काटने वाली रेखा खींची जाए, तो वह रेखा तीसरी भुजा के —

(A) लंबवत होती है
(B) समांतर होती है
(C) बराबर होती है
(D) आधी होती है

✅ उत्तर देखें

उत्तर: (B) यह BPT के विलोम का कथन है।

Answer Key – उत्तरमाला

प्रश्न	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
उत्तर	C	B	C	B	C	B	C	D	B	B	C	D	B	C	B

❓ Class 10 Math Chapter 6 Triangles – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

प्रश्न 1. Class 10 Math Chapter 6 Triangles में सर्वांगसम (congruent) और समरूप (similar) में क्या अंतर है?
उत्तर: सर्वांगसम आकृतियों का आकार और माप दोनों बराबर होते हैं (भुजा-अनुपात 1 : 1), जबकि समरूप आकृतियों का केवल आकार एक जैसा होता है। हर सर्वांगसम युग्म समरूप होता है, परंतु हर समरूप युग्म सर्वांगसम नहीं होता।

प्रश्न 2. Bihar Board परीक्षा में त्रिभुज अध्याय से कितने अंक के प्रश्न आते हैं?
उत्तर: पैटर्न बदलता रहता है, परंतु सामान्यतः इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ प्रश्नों सहित कुल लगभग 6–10 अंकों के प्रश्न आते हैं। थेल्स प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय के दीर्घ उत्तरीय प्रश्न लगभग हर वर्ष पूछे जाते हैं।

प्रश्न 3. BPT और उसके विलोम में भ्रम कैसे दूर करें?
उत्तर: सरल नियम याद रखें – BPT में “समांतर रेखा दी होती है, अनुपात सिद्ध करना होता है”, जबकि विलोम में “अनुपात दिया होता है, समांतर सिद्ध करना होता है”।

प्रश्न 4. क्या समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का नियम माध्यिका और ऊँचाई पर भी लागू होता है?
उत्तर: हाँ। संगत माध्यिकाओं, ऊँचाइयों और कोण-अर्धकों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, और उनके वर्गों का अनुपात क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 5. पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज में ही क्यों लागू होता है?
उत्तर: क्योंकि यह प्रमेय कर्ण (समकोण के सामने की भुजा) पर आधारित है। न्यूनकोण या अधिककोण त्रिभुज में यह संबंध नहीं बनता।

🔗 Internal Links – पिछले व अगले अध्याय पढ़ें

पूरी Class 10 गणित की पुस्तक और सभी अध्यायों की सूची यहाँ देखें: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

⬅️ पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 5 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेढ़ियाँ)

➡️ अगला अध्याय: Class 10 Math Chapter 7 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)

🔚 Conclusion – निष्कर्ष

त्रिभुज अध्याय की सफलता तीन बातों पर निर्भर है – BPT को चित्र सहित समझना, तीनों समरूपता कसौटियों (AA, SSS, SAS) में अंतर पहचानना, और क्षेत्रफल-अनुपात में वर्ग करना न भूलना।

ऊपर दिए गए सभी 54 हल किए गए प्रश्नों, उदाहरणों और 15 MCQ का अभ्यास करें। पूरे अध्याय की पुस्तक/PDF के लिए ऊपर दिए गए Mathematics Book लिंक का प्रयोग करें और अगले अध्याय – निर्देशांक ज्यामिति – की तैयारी शुरू करें। शुभकामनाएँ!