Class 10 Math Chapter 10 Circles NCERT Solutions in Hindi | वृत्त – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

Class 10 Math Chapter 10 वृत्त (Circles) – Introduction

Class 10 Math Chapter 10 Circles के NCERT Solutions यहाँ किताब की शैली में, सरल हिंदी में दिए गए हैं। Class 10 Math Chapter 10 Circles में हम उस रेखा को समझते हैं जो वृत्त को केवल छूती है — स्पर्श रेखा (Tangent)।

Class 9 में आप वृत्त, जीवा (chord), त्रिज्या (radius) और केंद्र (centre) से परिचित हो चुके हैं। इस अध्याय में हम दो बड़े प्रमेय सीखते हैं और उन्हीं से सारे प्रश्न हल करते हैं।

Bihar Board (BSEB) Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से लगभग 5–7 अंक के प्रश्न बनते हैं। विशेष रूप से प्रमेय 10.2 लगभग हर दूसरे वर्ष 4–5 अंक में पूछा जाता है।

इससे पहले Class 10 Math Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग पढ़कर आएँ तो समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय वाला भाग पहले से तैयार मिलेगा — इस अध्याय की अधिकांश गणना उसी पर चलती है।

Chapter 10 – पूरी जानकारी एक नज़र में

इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. 10.1 परिचय – स्पर्श रेखा और छेदक रेखा
2. 10.2 वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent to a Circle)
3. प्रमेय 10.1 – स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है
4. 10.3 एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या
5. प्रमेय 10.2 – बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं
6. प्रश्नावली 10.1 (4 प्रश्न) और प्रश्नावली 10.2 (13 प्रश्न)
7. NCERT उदाहरण – मुख्य 3 उदाहरणों के हल

📊 Important Formulas / Key Concepts

ज़रूरी परिभाषाएँ

चित्र: स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा XY, केंद्र O से स्पर्श बिंदु को मिलाने वाली त्रिज्या OA पर लम्ब (90°) होती है।

दो महाप्रमेय और काम के सूत्र

💡 याद रखें: वृत्त के अंदर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ = 0; वृत्त पर स्थित बिंदु से = केवल 1; वृत्त के बाहर के बिंदु से = ठीक 2। ये तीन बातें Objective के लिए सोना हैं।

चित्र: बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB — PA = PB होता है (प्रमेय 10.2)।

प्रमेय 10.1 – स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है (प्रमाण)

दिया है: केंद्र O वाला वृत्त, बिंदु A पर स्पर्श रेखा XY और त्रिज्या OA।

सिद्ध करना है: OA ⟂ XY

प्रमाण:

चरण 1: स्पर्श रेखा XY पर A के अलावा कोई अन्य बिंदु B लीजिए।

चरण 2: B वृत्त के बाहर होगा (क्योंकि स्पर्श रेखा वृत्त को केवल A पर छूती है), इसलिए OB > OA होगी।

चरण 3: यह बात XY के प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य है, अर्थात OA, बिंदु O से रेखा XY तक की सबसे छोटी दूरी है।

चरण 4: सबसे छोटी दूरी हमेशा लम्ब होती है, इसलिए OA ⟂ XY।

निष्कर्ष: OA ⟂ XY — सिद्ध हुआ।

💡 नोट: इसका विलोम भी सत्य है — वृत्त के किसी बिंदु पर त्रिज्या के लम्ब खींची गई रेखा उस बिंदु पर स्पर्श रेखा होती है। यही बात Chapter 11 की रचनाओं में काम आएगी।

प्रमेय 10.2 – बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर (प्रमाण)

दिया है: केंद्र O, बाह्य बिंदु P और स्पर्श रेखाएँ PA व PB (स्पर्श बिंदु A और B)।

सिद्ध करना है: PA = PB

प्रमाण:

चरण 1: OA, OB और OP को मिलाइए। प्रमेय 10.1 से ∠OAP = ∠OBP = 90°।

चरण 2: समकोण त्रिभुजों OAP और OBP में देखिए:

• OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
• OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)
• ∠OAP = ∠OBP = 90°

चरण 3: RHS सर्वांगसमता से ΔOAP ≅ ΔOBP।

चरण 4: अतः CPCT से PA = PB।

निष्कर्ष: PA = PB — सिद्ध हुआ।

इसी प्रमाण से यह भी मिलता है कि ∠APO = ∠BPO और ∠AOP = ∠BOP होते हैं, अर्थात OP दोनों कोणों को समद्विभाजित करती है।

प्रश्नावली 10.1 – सभी 4 प्रश्न

प्रश्न 1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

हल:

चरण 1: वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं।

चरण 2: प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

उत्तर: एक वृत्त की अनंत (अपरिमित) स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

हल: एक-एक करके देखिए —

• (i) एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
• (ii) एक रेखा, जो वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, छेदक रेखा (secant) कहलाती है।
• (iii) एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं (व्यास के दोनों सिरों पर)।
• (iv) स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु (point of contact) कहते हैं।

प्रश्न 3. त्रिज्या 5 cm, OQ = 12 cm — PQ की लंबाई चुनिए

प्रश्न: 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली रेखा को बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 cm है। PQ की लंबाई है — (A) 12 cm (B) 13 cm (C) 8.5 cm (D) √119 cm

हल:

चरण 1: प्रमेय 10.1 से OP ⟂ PQ है, इसलिए ΔOPQ समकोण त्रिभुज है।

चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय से: PQ = √(OQ² − OP²) = √(12² − 5²) = √(144 − 25) = √119 cm

उत्तर: PQ = √119 cm — विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 4. स्पर्श रेखा और छेदक रेखा बनाइए

प्रश्न: एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो और दूसरी छेदक रेखा हो।

हल (शब्दों में आकृति):

चरण 1: केंद्र O वाला एक वृत्त बनाइए और उसके बाहर एक रेखा l खींचिए।

चरण 2: केंद्र O से रेखा l पर लम्ब खींचिए; यह लम्ब वृत्त को बिंदु A पर मिलता है।

चरण 3: बिंदु A से होकर रेखा l के समांतर रेखा m खींचिए। रेखा m वृत्त को केवल A पर छूती है, इसलिए m एक स्पर्श रेखा है।

चरण 4: अब रेखा m के समांतर, वृत्त के अंदर की ओर थोड़ी दूरी पर एक और रेखा n खींचिए। रेखा n वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, इसलिए n एक छेदक रेखा है।

उत्तर: रेखा m = स्पर्श रेखा (एक बिंदु पर स्पर्श), रेखा n = छेदक रेखा (दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद)।

इस प्रश्नावली में हमने सीखा — स्पर्श रेखा वृत्त को एक बिंदु पर छूती है, छेदक रेखा दो बिंदुओं पर काटती है, और लंबाई के प्रश्न पाइथागोरस से बनते हैं।

प्रश्नावली 10.2 – सभी 13 प्रश्न

प्रश्न 1. स्पर्श रेखा 24 cm, केंद्र से दूरी 25 cm — त्रिज्या?

प्रश्न: एक बिंदु Q से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है और Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है — (A) 7 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 24.5 cm

हल:

चरण 1: सूत्र लगाइए: r = √(d² − tangent²) = √(25² − 24²)

चरण 2: r = √(625 − 576) = √49 = 7 cm

उत्तर: त्रिज्या = 7 cm — विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 2. ∠POQ = 110° तो ∠PTQ = ?

प्रश्न: यदि TP और TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं और ∠POQ = 110° है, तो ∠PTQ बराबर है — (A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°

हल:

चरण 1: चतुर्भुज OTPQ में प्रमेय 10.1 से ∠OTP = ∠OQT = 90°।

चरण 2: चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है:
∠PTQ = 360° − 90° − 90° − 110° = 70°

उत्तर: ∠PTQ = 70° — विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3. स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 80° तो ∠POA = ?

प्रश्न: यदि एक बाह्य बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है — (A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°

हल:

चरण 1: चतुर्भुज OAPB में ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 80° = 100°

चरण 2: रेखा OP, कोण AOB को समद्विभाजित करती है:
∠POA = ½ × ∠AOB = ½ × 100° = 50°

उत्तर: ∠POA = 50° — विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए — व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हल:

चरण 1: माना व्यास AB के सिरों A और B पर स्पर्श रेखाएँ XY और PQ हैं।

चरण 2: प्रमेय 10.1 से OA ⟂ XY और OB ⟂ PQ।

चरण 3: OA और OB एक ही सीधी रेखा (व्यास) पर हैं, इसलिए XY और PQ दोनों एक ही रेखा पर लम्ब हैं।

चरण 4: एक ही रेखा पर लम्ब रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं, इसलिए XY ∥ PQ।

उत्तर: व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए — स्पर्श बिंदु पर लम्ब केंद्र से होकर जाता है

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:

चरण 1: माना वृत्त का केंद्र O है और स्पर्श रेखा XY का स्पर्श बिंदु A है। बिंदु A से XY पर लम्ब l खींचिए।

चरण 2: मान लीजिए (विपरीत कल्पना) कि लम्ब l केंद्र O से नहीं जाता।

चरण 3: परंतु प्रमेय 10.1 से OA भी XY पर लम्ब है। इस प्रकार बिंदु A से रेखा XY पर दो लम्ब बन जाएँगे — OA और l।

चरण 4: किसी बिंदु से किसी रेखा पर केवल एक ही लम्ब खींचा जा सकता है, इसलिए हमारी कल्पना ग़लत है।

उत्तर: अतः लम्ब l ही रेखा OA है और वह केंद्र O से होकर जाता है — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 6. स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm, दूरी 5 cm — त्रिज्या?

प्रश्न: एक बिंदु A से, जो वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर है, वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: सूत्र लगाइए: r = √(d² − tangent²) = √(5² − 4²)

चरण 2: r = √(25 − 16) = √9 = 3 cm

उत्तर: वृत्त की त्रिज्या = 3 cm

प्रश्न 7. संकेंद्रीय वृत्तों की जीवा

प्रश्न: दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

हल:

चरण 1: माना बड़े वृत्त की जीवा PQ छोटे वृत्त को बिंदु M पर स्पर्श करती है। तब OM = 3 cm और OM ⟂ PQ है।

चरण 2: केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए M, जीवा PQ का मध्य बिंदु है।

चरण 3: समकोण ΔOMP में OP = 5 cm है:
PM = √(OP² − OM²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm

चरण 4: जीवा PQ = 2 × PM = 2 × 4 = 8 cm

उत्तर: जीवा की लंबाई = 8 cm

प्रश्न 8. सिद्ध कीजिए — परिगत चतुर्भुज में AB + CD = AD + BC

प्रश्न: एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के परिगत है (अर्थात उसकी चारों भुजाएँ वृत्त को स्पर्श करती हैं)। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।

हल:

चरण 1: माना चतुर्भुज की भुजाएँ AB, BC, CD, DA वृत्त को क्रमशः बिंदुओं P, Q, R, S पर स्पर्श करती हैं।

चरण 2: प्रमेय 10.2 (एक ही बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर) से — शीर्ष A से: AP = AS; शीर्ष B से: BP = BQ; शीर्ष C से: CR = CQ; शीर्ष D से: DR = DS।

चरण 3: AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) लिखिए।

चरण 4: चरण 2 के बराबर मान रखने पर: = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC

उत्तर: AB + CD = AD + BC — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए — ∠AOB = 90°

प्रश्न: XY और X′Y′ केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और एक अन्य स्पर्श रेखा AB, जिसका स्पर्श बिंदु C है, XY को A पर और X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।

हल:

चरण 1: OA मिलाइए — OA, बिंदु A पर बने कोण को समद्विभाजित करती है (प्रमेय 10.2 का परिणाम), इसलिए ∠OAC = ½ ∠XAC। इसी प्रकार ∠OBC = ½ ∠X′BC।

चरण 2: XY ∥ X′Y′ है और AB एक तिर्यक रेखा है, इसलिए एक ही ओर के अंतः कोणों का योग: ∠XAC + ∠X′BC = 180°।

चरण 3: दोनों का आधा करने पर: ∠OAC + ∠OBC = ½ × 180° = 90°।

चरण 4: ΔAOB में कोणों का योग 180° होता है:
∠AOB = 180° − (∠OAC + ∠OBC) = 180° − 90° = 90°

उत्तर: ∠AOB = 90° — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए — दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण पूरक होता है

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का पूरक (supplementary) होता है।

हल:

चरण 1: माना बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं; केंद्र पर अंतरित कोण ∠AOB है।

चरण 2: चतुर्भुज OAPB में प्रमेय 10.1 से ∠OAP = ∠OBP = 90°।

चरण 3: चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है:
∠AOB + ∠APB + 90° + 90° = 360°

चरण 4: अतः ∠AOB + ∠APB = 360° − 180° = 180°।

उत्तर: ∠AOB + ∠APB = 180°, अर्थात दोनों कोण परस्पर पूरक हैं — सिद्ध हुआ।

💡 याद रखें: यही कारण है कि प्रश्न 3 में स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 80° होने पर केंद्र पर कोण 100° बना था।

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए — परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज (rhombus) होता है।

हल:

चरण 1: माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो एक वृत्त के परिगत है।

चरण 2: प्रश्न 8 के परिणाम से: AB + CD = AD + BC …(i)

चरण 3: समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: AB = CD और AD = BC। ये मान (i) में रखने पर: 2AB = 2AD ⇒ AB = AD।

चरण 4: अतः AB = BC = CD = DA हो गया, अर्थात चारों भुजाएँ बराबर हैं।

उत्तर: चारों भुजाएँ बराबर होने से ABCD एक समचतुर्भुज (rhombus) है — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 12. परिगत त्रिभुज की भुजाएँ AB और AC

प्रश्न: एक त्रिभुज ABC, 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत है। स्पर्श बिंदु D, भुजा BC को BD = 8 cm और DC = 6 cm लंबाई वाले खंडों में विभाजित करता है। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना शीर्ष A से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई x cm है। प्रमेय 10.2 से AB = 8 + x, AC = 6 + x और BC = 8 + 6 = 14 cm।

चरण 2: अर्ध-परिमाप s = (AB + BC + CA)/2 = (8 + x + 14 + 6 + x)/2 = 14 + x

चरण 3: हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √[(14 + x) · x · 8 · 6] = √[48x(14 + x)]

चरण 4: अंतःवृत्त की त्रिज्या से क्षेत्रफल = r × s = 4(14 + x)। दोनों को बराबर करने पर: 48x(14 + x) = 16(14 + x)² ⇒ 3x = 14 + x ⇒ x = 7 cm

चरण 5: AB = 8 + 7 = 15 cm; AC = 6 + 7 = 13 cm

उत्तर: AB = 15 cm, AC = 13 cm

प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए — सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर पूरक कोण अंतरित करती हैं

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर पूरक कोण अंतरित करती हैं।

हल:

चरण 1: माना चतुर्भुज ABCD वृत्त को भुजाओं AB, BC, CD, DA पर क्रमशः बिंदुओं P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। केंद्र O को P, Q, R, S से मिलाइए।

चरण 2: एक ही शीर्ष से खींची गई स्पर्श रेखाओं के कारण सर्वांगसम त्रिभुजों से: ∠AOP = ∠AOS, ∠BOP = ∠BOQ, ∠COQ = ∠COR और ∠DOR = ∠DOS।

चरण 3: बिंदु O के चारों ओर के सभी कोणों का योग 360° होता है। ऊपर के बराबर युग्मों के कारण:
2[∠AOP + ∠BOP + ∠COR + ∠DOR] = 360°

चरण 4: अतः (∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR) = 180°, अर्थात ∠AOB + ∠COD = 180°।

उत्तर: सम्मुख भुजाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों का योग 180° होता है, अर्थात वे पूरक हैं — सिद्ध हुआ। (इसी प्रकार ∠BOC + ∠AOD = 180° भी सिद्ध होता है।)

इस प्रश्नावली में हमने सीखा — प्रमेय 10.1 और 10.2 ही हर प्रश्न की कुंजी हैं: लंबाई हो, कोण हो या सिद्ध करना हो, शुरुआत इन्हीं दो से होती है।

NCERT उदाहरण (Examples) – संक्षिप्त हल

उदाहरण 1. संकेंद्रीय वृत्तों की जीवा स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

हल:

चरण 1: माना उभयनिष्ठ केंद्र O है; बड़े वृत्त की जीवा PQ छोटे वृत्त को बिंदु M पर स्पर्श करती है। OM मिलाइए।

चरण 2: PQ, छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए प्रमेय 10.1 से OM ⟂ PQ।

चरण 3: परंतु बड़े वृत्त में OM, केंद्र से जीवा PQ पर डाला गया लम्ब भी है, और केंद्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

उत्तर: PM = MQ, अर्थात जीवा स्पर्श बिंदु M पर समद्विभाजित होती है — सिद्ध हुआ।

उदाहरण 2. ∠PTQ = 2∠OPQ सिद्ध कीजिए

प्रश्न: किसी बाह्य बिंदु T से वृत्त पर TP और TQ दो स्पर्श रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ।

हल:

चरण 1: माना ∠PTQ = θ है। प्रश्न 10 के परिणाम से ∠POQ = 180° − θ।

चरण 2: समद्विबाहु ΔOPQ में OP = OQ (त्रिज्याएँ), इसलिए ∠OPQ = ∠OQP।

चरण 3: कोणों का योग: ∠OPQ + ∠OQP + ∠POQ = 180° ⇒ 2∠OPQ = 180° − (180° − θ) = θ

उत्तर: ∠OPQ = θ/2, अर्थात ∠PTQ = 2∠OPQ — सिद्ध हुआ।

उदाहरण 3. जीवा 8 cm, त्रिज्या 5 cm — स्पर्श रेखा TP की लंबाई

प्रश्न: PQ, 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त की 8 cm लंबी जीवा है। बिंदुओं P और Q पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। TP की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: OT, जीवा PQ को बिंदु R पर समद्विभाजित करती है, इसलिए PR = 4 cm। ΔOPR में OR = √(5² − 4²) = √9 = 3 cm।

चरण 2: समरूप ΔTRP और ΔPRO से (दोनों में समकोण और उभयनिष्ट कोण-युग्म): TP / PO = RP / RO ⇒ TP / 5 = 4 / 3

चरण 3: TP = (5 × 4) / 3 = 20/3 cm ≈ 6.67 cm

उत्तर: TP = 20/3 cm ≈ 6.67 cm

इस भाग में हमने सीखा — उदाहरणों में वही दो प्रमेय बार-बार घूमकर आते हैं; एक बार प्रमाण समझ लिया तो हर नया प्रश्न पुराना लगता है।

📖 Case Study – वृत्ताकार पार्क

स्थिति पढ़िए: एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 5 m है। पार्क के बाहर स्थित एक बिंदु P से पार्क के केंद्र O की दूरी 13 m है। बिंदु P से पार्क की सीमा (वृत्त) पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। नीचे के प्रश्न इसी स्थिति पर आधारित हैं।

Q1. बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है —

(A) 8 m
(B) 12 m
(C) 13 m
(D) 18 m

Q2. बिंदु P से वृत्त पर कुल कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) अनंत

Q3. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण होता है —

(A) 45°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 180°

Q4. बिंदु P से खींची गई दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई होगी —

(A) 5 m
(B) 10 m
(C) 12 m
(D) निश्चित नहीं की जा सकती

⭐ Quick Revision – Important Points

• स्पर्श रेखा वृत्त को एक ही बिंदु पर छूती है; दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा छेदक (secant) है — यह अंतर Objective में बार-बार पूछा जाता है।
• स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या हमेशा स्पर्श रेखा पर लम्ब (90°) होती है — इस अध्याय का हर दूसरा हल यहीं से शुरू होता है।
• बाह्य बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं (PA = PB) और केंद्र को उस बिंदु से मिलाने वाली रेखा दोनों कोणों को आधा करती है।
• लंबाई का shortcut सूत्र: √(d² − r²) — d केंद्र से दूरी, r त्रिज्या।
• ∠AOB + ∠APB = 180° — कोण वाले प्रश्नों का सबसे तेज़ हथियार।
• वृत्त के परिगत चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं (AB + CD = AD + BC) और परिगत समांतर चतुर्भुज हमेशा rhombus होता है।

आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• स्पर्श रेखा की लंबाई के सूत्र में √(d² + r²) लिख देना — सही सूत्र √(d² − r²) है, क्योंकि त्रिज्या लम्ब होती है।
• ∠AOB और ∠APB को बराबर समझ लेना — ये बराबर नहीं, पूरक (योग 180°) होते हैं।
• प्रमेय के प्रमाण में “दिया है / सिद्ध करना है / प्रमाण” न लिखकर सीधे उत्तर लिख देना — अंक कटते हैं।
• वृत्त के अंदर के बिंदु से भी स्पर्श रेखा मान लेना — अंदर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
• परिगत चतुर्भुज के प्रश्न में स्पर्श-खंडों को बराबर रखना भूल जाना (प्रमेय 10.2 का प्रयोग)।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• प्रमेय 10.2 का प्रमाण रटने के बजाय समझकर लिखना सीखें — “दिया है / सिद्ध करना है / प्रमाण” के चरणों में लिखने पर पूरे अंक मिलते हैं।
• हर हल की शुरुआत में “प्रमेय 10.1 से ∠OAP = 90°” लिखना न भूलें — यही एक पंक्ति आधे प्रमाण की नींव है।
• Objective के लिए समकोण त्रिक याद रखें — 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17; लंबाई वाले प्रश्न इन्हीं से तुरंत बनते हैं।
• आकृति में केंद्र O, स्पर्श बिंदु और बाह्य बिंदु स्पष्ट अंकित करें; 90° वाले कोण पर छोटा वर्ग का चिह्न अवश्य लगाएँ।
• “सिद्ध कीजिए” वाले प्रश्नों में अंतिम पंक्ति में “अतः … सिद्ध हुआ” लिखना BSEB की मूल्यांकन पद्धति में अंक दिलाता है।

📝 Class 10 Math Chapter 10 Circles MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले स्वयं हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर मिलान करें। अंत में पूरी Answer Key दी गई है।

Q1. वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर अधिकतम कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) अनंत

Q2. स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण होता है —

(A) 45°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 180°

Q3. वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या है —

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 4

Q4. एक बिंदु केंद्र से 13 cm दूर है और वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। स्पर्श रेखा की लंबाई है —

(A) 8 cm
(B) 12 cm
(C) 18 cm
(D) √194 cm

Q5. वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा कहलाती है —

(A) स्पर्श रेखा
(B) छेदक रेखा
(C) जीवा
(D) त्रिज्या

Q6. यदि ∠POQ = 100° है (TP, TQ स्पर्श रेखाएँ), तो ∠PTQ = ?

(A) 100°
(B) 90°
(C) 80°
(D) 50°

Q7. बाह्य बिंदु P से PA = 8 cm है। दूसरी स्पर्श रेखा PB की लंबाई होगी —

(A) 4 cm
(B) 8 cm
(C) 16 cm
(D) कहा नहीं जा सकता

Q8. त्रिज्या 3 cm है और बाह्य बिंदु केंद्र से 5 cm दूर है। स्पर्श रेखा की लंबाई है —

(A) 2 cm
(B) 4 cm
(C) √34 cm
(D) 8 cm

Q9. वृत्त पर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) अनंत

Q10. यदि दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60° है, तो केंद्र पर स्पर्श बिंदुओं द्वारा बना कोण होगा —

(A) 60°
(B) 90°
(C) 120°
(D) 150°

Q11. संकेंद्रीय वृत्तों (त्रिज्याएँ 5 cm और 4 cm) में बड़े वृत्त की वह जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, की लंबाई है —

(A) 3 cm
(B) 6 cm
(C) 8 cm
(D) 9 cm

Q12. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को कहते हैं —

(A) केंद्र
(B) स्पर्श बिंदु
(C) छेदन बिंदु
(D) मध्य बिंदु

Q13. एक वृत्त की कुल स्पर्श रेखाओं की संख्या होती है —

(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) अपरिमित (अनंत)

Q14. वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD के लिए सही संबंध है —

(A) AB + BC = CD + DA
(B) AB + CD = BC + DA
(C) AB × CD = BC × DA
(D) AB − CD = BC − DA

Q15. यदि स्पर्श रेखा की लंबाई 15 cm और त्रिज्या 8 cm है, तो बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी है —

(A) 17 cm
(B) 23 cm
(C) 7 cm
(D) √161 cm

✅ Answer Key – Chapter 10 MCQ

❓ Class 10 Math Chapter 10 Circles – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

1. Class 10 Math Chapter 10 Circles से Bihar Board में कौन-सा प्रमेय सबसे अधिक पूछा जाता है?

प्रमेय 10.2 — बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इसका प्रमाण RHS सर्वांगसमता से बनता है, इसलिए यह 4–5 अंक का पक्का प्रश्न माना जाता है।

2. स्पर्श रेखा और छेदक रेखा में क्या अंतर है?

स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है, जबकि छेदक रेखा (secant) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

3. स्पर्श रेखा की लंबाई तुरंत कैसे निकालें?

सूत्र √(d² − r²) लगाइए, जहाँ d बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी और r त्रिज्या है। यह पाइथागोरस प्रमेय का ही रूप है।

4. क्या व्यास के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हमेशा समांतर होती हैं?

हाँ, क्योंकि दोनों ही एक ही रेखा (व्यास) पर लम्ब होती हैं, और एक ही रेखा पर लम्ब रेखाएँ समांतर होती हैं।

5. Chapter 10 के बाद अगला chapter कौन-सा है और वह किस बारे में है?

अगला chapter रचनाएँ (Constructions) है, जिसमें स्पर्श रेखा खींचने की रचना भी आती है — इसलिए Chapter 10 के प्रमेय वहाँ सीधे काम आएँगे।

🔗 Internal Links – आस-पास के Chapters

⬅️ पिछला अध्याय: Class 10 Math Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

➡️ अगला अध्याय: Class 10 Math Chapter 11 रचनाएँ (Constructions)

📘 पूरी किताब: NCERT Class 10 Bihar Board Mathematics Book – सभी Chapters व PDF

आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

🔚 Conclusion

Class 10 Math Chapter 10 वृत्त (Circles) असल में केवल दो प्रमेयों का अध्याय है — स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है, और बाह्य बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

इन दो बातों को प्रमाण सहित पक्का कर लिया, तो प्रश्नावली 10.1 और 10.2 का हर प्रश्न आसान हो जाएगा — चाहे लंबाई हो, कोण हो या परिगत चतुर्भुज का सिद्ध करना। ऊपर के हल किए गए प्रश्न, महत्वपूर्ण बिंदु और 15 MCQ का quiz दो बार दोहरा लें।

अगले chapter रचनाएँ (Constructions) में यही स्पर्श रेखाएँ आप स्वयं परकार (compass) से खींचना सीखेंगे। पूरी किताब के सभी chapters एक जगह चाहिए हों तो Bihar Board Class 10 Mathematics Book page देखिए। Topic Clear, तो Exam Clear!