Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry NCERT Solutions in Hindi | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग – सूत्र, उदाहरण व प्रश्न उत्तर

Class 10 Math Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग – Introduction

Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry के NCERT Solutions यहाँ बिल्कुल किताब (NCERT Book) की शैली में, सरल हिंदी में दिए गए हैं। Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry में हम Chapter 8 में सीखे गए sin, cos और tan का असली उपयोग सीखते हैं — बिना नापे मीनार की ऊँचाई, नदी की चौड़ाई और इमारत से दूरी निकालना।

इस अध्याय के हर प्रश्न का एक ही रहस्य है — प्रश्न को एक समकोण त्रिभुज (ऐसा त्रिभुज जिसका एक कोण 90° हो) में बदल दीजिए, हल अपने आप निकल आएगा।

Bihar Board (BSEB) Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से हर साल लगभग 4–6 अंक के प्रश्न आते हैं। एक छोटा प्रश्न और एक 4–5 अंक का ऊँचाई-दूरी वाला प्रश्न आना आम बात है।

अच्छी बात यह है कि इस अध्याय में केवल एक ही प्रश्नावली (9.1) है, इसलिए तैयारी आसान और अंक पक्के हैं।

आगे बढ़ने से पहले Class 10 Math Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय अवश्य दोहरा लें, क्योंकि इस अध्याय के सभी प्रश्न 30°, 45° और 60° के अनुपातों पर ही बने हैं।

Chapter 9 – पूरी जानकारी एक नज़र में

इस Chapter में क्या-क्या है? (Topics)

1. 9.1 परिचय – त्रिकोणमिति का दैनिक जीवन में उपयोग
2. 9.2 ऊँचाई और दूरी (Heights and Distances)
3. दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा की परिभाषा
4. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
5. अवनमन कोण (Angle of Depression)
6. प्रश्नावली 9.1 – ऊँचाई-दूरी के सभी 16 प्रश्न
7. NCERT उदाहरण – मुख्य 5 उदाहरणों के हल

📊 Important Formulas / Key Concepts

सबसे पहले – तीन ज़रूरी शब्द

चित्र: उन्नयन कोण (ऊपर देखने पर) और अवनमन कोण (नीचे देखने पर) — दोनों ही कोण क्षैतिज रेखा से नापे जाते हैं।

काम के सूत्र

💡 याद रखें: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2. NCERT की तरह √3 = 1.732 लेकर अंतिम उत्तर दशमलव में भी दें।

💡 ध्यान दें: अवनमन कोण हमेशा उसके संगत उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण), क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर होती हैं। मीनार से कार या नाव देखने वाले प्रश्नों में यही तरकीब काम आती है।

प्रश्नावली 9.1 – ऊँचाई और दूरी (सभी 16 प्रश्न)

हर प्रश्न को किताब की तरह पढ़ें — पहले प्रश्न, फिर क्रम से चरण 1, चरण 2… में हल और अंत में हरे बॉक्स में उत्तर।

प्रश्न 1. सर्कस की रस्सी

प्रश्न: एक सर्कस कलाकार 20 m लंबी रस्सी पर चढ़ रहा है, जो एक खंभे के शीर्ष से बँधी है और ज़मीन पर एक खूँटे से कसी हुई है। खंभा 12 m ऊँचा है। खूँटे की खंभे के पाद (foot) से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना खंभा AB = 12 m, रस्सी AC = 20 m और खूँटा बिंदु C पर है। इससे समकोण त्रिभुज ABC बनता है।

चरण 2: समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ:
BC² = AC² − AB² = 20² − 12² = 400 − 144 = 256

चरण 3: BC = √256 = 16 m

उत्तर: खूँटा खंभे के पाद से 16 m दूर है।

प्रश्न 2. तूफ़ान से टूटा पेड़

प्रश्न: आँधी के कारण एक पेड़ का एक भाग टूटकर इस प्रकार झुकता है कि उसका शीर्ष ज़मीन को पेड़ के पाद से 8 m की दूरी पर छूता है और ज़मीन से 30° का कोण बनाता है। पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना पेड़ AB था, बिंदु C से टूटा और शीर्ष D पर ज़मीन को छुआ। BD = 8 m, ∠ADB = 30°।

चरण 2: टूटा हुआ भाग CD ही पहले AC था, अर्थात CD = AC।

चरण 3: tan 30° = खड़ा भाग / 8 ⇒ खड़ा भाग = 8 × (1/√3) = 8/√3 m

चरण 4: cos 30° = 8 / टूटा भाग ⇒ टूटा भाग = 8 ÷ (√3/2) = 16/√3 m

चरण 5: कुल ऊँचाई = 8/√3 + 16/√3 = 24/√3 = 8√3 = 8 × 1.732 = 13.86 m

उत्तर: पेड़ की कुल ऊँचाई = 8√3 m ≈ 13.86 m

प्रश्न 3. पार्क की स्लाइड

प्रश्न: छोटे बच्चों के लिए स्लाइड की ऊँचाई 1.5 m है और वह ज़मीन से 30° पर झुकी है। बड़े बच्चों के लिए स्लाइड की ऊँचाई 3 m और झुकाव 60° है। दोनों स्लाइडों की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: स्लाइड की लंबाई समकोण त्रिभुज का कर्ण है और ऊँचाई लम्ब है, इसलिए यहाँ sin θ लगेगा।

चरण 2: छोटी स्लाइड: sin 30° = 1.5 / L ⇒ 1/2 = 1.5 / L ⇒ L = 3 m

चरण 3: बड़ी स्लाइड: sin 60° = 3 / L ⇒ √3/2 = 3 / L ⇒ L = 6/√3 = 2√3 = 3.46 m

उत्तर: छोटी स्लाइड = 3 m, बड़ी स्लाइड = 2√3 m ≈ 3.46 m

प्रश्न 4. मीनार की ऊँचाई

प्रश्न: ज़मीन पर स्थित एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से 30 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना मीनार AB और बिंदु C है, जहाँ BC = 30 m और ∠ACB = 30°।

चरण 2: tan 30° = AB / BC = AB / 30

चरण 3: AB = 30 × (1/√3) = 30/√3 = 10√3 = 10 × 1.732 = 17.32 m

उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 10√3 m ≈ 17.32 m

प्रश्न 5. उड़ती पतंग

प्रश्न: एक पतंग ज़मीन से 60 m की ऊँचाई पर उड़ रही है। उसकी डोर ज़मीन से 60° का कोण बनाती है (डोर को सीधा मानें)। डोर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: डोर कर्ण है और ऊँचाई लम्ब है, इसलिए sin 60° लगेगा।

चरण 2: sin 60° = 60 / डोर की लंबाई ⇒ √3/2 = 60 / L

चरण 3: L = 120/√3 = 40√3 = 40 × 1.732 = 69.28 m

उत्तर: डोर की लंबाई = 40√3 m ≈ 69.28 m

प्रश्न 6. भवन की ओर चलता लड़का

प्रश्न: 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह इमारत की ओर चलता है, तो उसकी आँख से इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। वह कितनी दूरी चला?

हल:

चरण 1: लड़के की आँख से इमारत की प्रभावी ऊँचाई = 30 − 1.5 = 28.5 m

चरण 2: पहली स्थिति: tan 30° = 28.5 / d₁ ⇒ d₁ = 28.5√3 m

चरण 3: दूसरी स्थिति: tan 60° = 28.5 / d₂ ⇒ d₂ = 28.5/√3 = 9.5√3 m

चरण 4: चली गई दूरी = d₁ − d₂ = 28.5√3 − 9.5√3 = 19√3 = 19 × 1.732 = 32.91 m

उत्तर: लड़का 19√3 m ≈ 32.91 m चला।

💡 ध्यान दें: देखने वाले की अपनी ऊँचाई (यहाँ 1.5 m) दी हो, तो पहले उसे कुल ऊँचाई में से घटाकर “प्रभावी ऊँचाई” निकाल लें।

प्रश्न 7. मीनार पर झंडा

प्रश्न: ज़मीन पर स्थित एक बिंदु से 50 m ऊँची मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और उसी मीनार पर लगे झंडे (ध्वज दंड) के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। झंडे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना मीनार AB = 50 m, झंडा BD और प्रेक्षण बिंदु C है।

चरण 2: tan 30° = 50 / BC ⇒ BC = 50√3 m

चरण 3: tan 60° = (50 + BD) / BC ⇒ √3 = (50 + BD) / (50√3)

चरण 4: 50 + BD = 50√3 × √3 = 150 ⇒ BD = 150 − 50 = 100 m

उत्तर: झंडे की ऊँचाई = 100 m

प्रश्न 8. मूर्ति और उसकी चौकी

प्रश्न: एक 1.6 m ऊँची मूर्ति एक चौकी (pedestal) पर खड़ी है। ज़मीन पर स्थित एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° और चौकी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चौकी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना चौकी की ऊँचाई h m और बिंदु से दूरी d m है।

चरण 2: tan 45° = h / d ⇒ 1 = h / d ⇒ d = h

चरण 3: tan 60° = (h + 1.6) / d ⇒ √3 = (h + 1.6) / h

चरण 4: √3 h = h + 1.6 ⇒ h(√3 − 1) = 1.6 ⇒ h = 1.6 / (√3 − 1)

चरण 5: परिमेयकरण करने पर h = 0.8(√3 + 1) = 0.8 × 2.732 = 2.19 m

उत्तर: चौकी की ऊँचाई = 0.8(√3 + 1) m ≈ 2.19 m

प्रश्न 9. मीनार और भवन

प्रश्न: एक मीनार के पाद से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना दोनों के बीच की दूरी d m और भवन की ऊँचाई H m है।

चरण 2: मीनार के पाद से: tan 60° = 50 / d ⇒ d = 50/√3 m

चरण 3: भवन के पाद से: tan 30° = H / d ⇒ H = d × (1/√3)

चरण 4: H = (50/√3) × (1/√3) = 50/3 = 16.67 m

उत्तर: भवन की ऊँचाई = 50/3 m ≈ 16.67 m

प्रश्न 10. सड़क के दोनों ओर दो खंभे

प्रश्न: एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों किनारों पर बराबर ऊँचाई के दो खंभे आमने-सामने खड़े हैं। सड़क पर उनके बीच स्थित एक बिंदु से दोनों खंभों के शिखरों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और बिंदु की खंभों से दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना ऊँचाई h m है। बिंदु पहले खंभे से x m दूर है, तो दूसरे खंभे से (80 − x) m दूर होगा।

चरण 2: tan 60° = h / x ⇒ h = √3 x …(i)

चरण 3: tan 30° = h / (80 − x) ⇒ h = (80 − x)/√3 …(ii)

चरण 4: (i) और (ii) से: √3 x = (80 − x)/√3 ⇒ 3x = 80 − x ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 m

चरण 5: h = 20√3 = 20 × 1.732 = 34.64 m; दूसरी दूरी = 80 − 20 = 60 m

उत्तर: खंभों की ऊँचाई = 20√3 m ≈ 34.64 m; बिंदु की दूरियाँ = 20 m और 60 m

प्रश्न 11. नहर के किनारे खड़ा टावर

प्रश्न: एक टावर नहर के एक किनारे पर खड़ा है। दूसरे किनारे पर उसके ठीक सामने वाले बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इस बिंदु से 20 m पीछे (टावर से दूर) स्थित एक अन्य बिंदु से उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: माना नहर की चौड़ाई w m और टावर की ऊँचाई h m है।

चरण 2: सामने वाले बिंदु से: tan 60° = h / w ⇒ h = √3 w …(i)

चरण 3: 20 m पीछे वाले बिंदु से: tan 30° = h / (w + 20) ⇒ h = (w + 20)/√3 …(ii)

चरण 4: √3 w = (w + 20)/√3 ⇒ 3w = w + 20 ⇒ w = 10 m

चरण 5: h = 10√3 = 10 × 1.732 = 17.32 m

उत्तर: नहर की चौड़ाई = 10 m, टावर की ऊँचाई = 10√3 m ≈ 17.32 m

प्रश्न 12. भवन की छत से केबल टावर

प्रश्न: 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। केबल टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: अवनमन कोण 45° का प्रयोग करें: tan 45° = 7 / क्षैतिज दूरी ⇒ क्षैतिज दूरी = 7 m

चरण 2: भवन के शिखर से ऊपर टावर का भाग x मानें: tan 60° = x / 7 ⇒ x = 7√3 m

चरण 3: टावर की कुल ऊँचाई = 7 + 7√3 = 7(√3 + 1) = 7 × 2.732 = 19.12 m

उत्तर: केबल टावर की ऊँचाई = 7(√3 + 1) m ≈ 19.12 m

प्रश्न 13. प्रकाश स्तंभ और दो जहाज़

प्रश्न: समुद्र तल से 75 m ऊँचे प्रकाश स्तंभ (lighthouse) के शिखर से दो जहाज़ों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि एक जहाज़ दूसरे के ठीक पीछे (एक ही ओर, एक ही रेखा में) है, तो दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: अवनमन कोण = जहाज़ से प्रकाश स्तंभ की ओर का उन्नयन कोण (एकांतर कोण)। पास वाला जहाज़ d₁ m और दूर वाला d₂ m पर मानें।

चरण 2: tan 45° = 75 / d₁ ⇒ d₁ = 75 m

चरण 3: tan 30° = 75 / d₂ ⇒ d₂ = 75√3 m

चरण 4: दोनों के बीच की दूरी = d₂ − d₁ = 75√3 − 75 = 75(√3 − 1) = 75 × 0.732 = 54.9 m

उत्तर: दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी = 75(√3 − 1) m ≈ 54.9 m

चित्र: प्रकाश स्तंभ (lighthouse) के शिखर से दो जहाज़ों के अवनमन कोण — प्रश्न 13 का आधार यही आकृति है।

प्रश्न 14. गुब्बारा और लड़की

प्रश्न: 1.2 m लंबी एक लड़की ज़मीन से 88.2 m की ऊँचाई पर क्षैतिज उड़ते हुए गुब्बारे को देखती है। किसी क्षण गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद (गुब्बारा दूर जाने पर) उन्नयन कोण 30° हो जाता है। इस अंतराल में गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: लड़की की आँख से गुब्बारे की ऊँचाई = 88.2 − 1.2 = 87 m

चरण 2: पहली स्थिति: tan 60° = 87 / d₁ ⇒ d₁ = 87/√3 = 29√3 m

चरण 3: दूसरी स्थिति: tan 30° = 87 / d₂ ⇒ d₂ = 87√3 m

चरण 4: तय की गई दूरी = d₂ − d₁ = 87√3 − 29√3 = 58√3 = 58 × 1.732 = 100.46 m

उत्तर: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58√3 m ≈ 100.46 m

प्रश्न 15. मीनार की ओर आती कार

प्रश्न: एक सीधी सड़क मीनार के पाद तक जाती है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक व्यक्ति एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है। 6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है। कार को मीनार के पाद तक पहुँचने में और कितना समय लगेगा?

हल:

चरण 1: माना मीनार की ऊँचाई h m है। दूर वाली स्थिति में दूरी = h√3 m (tan 30° से) और पास वाली स्थिति में दूरी = h/√3 m (tan 60° से)।

चरण 2: 6 सेकंड में तय दूरी = h√3 − h/√3 = 2h/√3 m ⇒ कार की चाल = (2h/√3) ÷ 6 = h/(3√3) m/s

चरण 3: बची हुई दूरी h/√3 m तय करने का समय = (h/√3) ÷ (h/(3√3)) = 3 सेकंड

उत्तर: कार को मीनार तक पहुँचने में 3 सेकंड और लगेंगे।

प्रश्न 16. पूरक कोणों वाला प्रश्न (सिद्ध करना है)

प्रश्न: एक मीनार के पाद से 4 m और 9 m की दूरी पर (एक ही सीधी रेखा में) स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक (complementary) हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

हल:

चरण 1: माना मीनार की ऊँचाई h m है और पहले बिंदु से उन्नयन कोण θ है, तो दूसरे बिंदु से कोण (90° − θ) होगा।

चरण 2: tan θ = h/4 …(i)

चरण 3: tan(90° − θ) = h/9 ⇒ cot θ = h/9 ⇒ tan θ = 9/h …(ii)

चरण 4: (i) और (ii) से: h/4 = 9/h ⇒ h² = 36 ⇒ h = 6 m (ऊँचाई धनात्मक होती है)

उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 6 m — सिद्ध हुआ।

इस प्रश्नावली में हमने सीखा — हर ऊँचाई-दूरी प्रश्न समकोण त्रिभुज बनाकर और सही अनुपात (अधिकतर tan θ) चुनकर हल होता है।

NCERT उदाहरण (Examples) – संक्षिप्त हल

NCERT किताब के मुख्य उदाहरण नीचे छोटे रूप में दिए गए हैं। ध्यान दें — उदाहरण 6 (पूरक कोण) प्रश्नावली 9.1 के प्रश्न 16 में और उदाहरण 7 (मूर्ति व चौकी) प्रश्न 8 में विस्तार से हल है।

उदाहरण 1. मीनार की ऊँचाई (दूरी 15 m, कोण 60°)

प्रश्न: ज़मीन पर मीनार के पाद से 15 m दूर स्थित बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: tan 60° = ऊँचाई / 15

चरण 2: ऊँचाई = 15 × √3 = 15√3 ≈ 25.98 m

उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 15√3 m ≈ 25.98 m

उदाहरण 2. बिजली मिस्त्री की सीढ़ी

प्रश्न: एक बिजली मिस्त्री को 5 m ऊँचे खंभे पर मरम्मत करनी है। उसे शीर्ष से 1.3 m नीचे स्थित बिंदु तक पहुँचना है। सीढ़ी को 60° के कोण पर लगाने पर सीढ़ी की लंबाई और खंभे के पाद से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: पहुँचने की ऊँचाई = 5 − 1.3 = 3.7 m

चरण 2: sin 60° = 3.7 / सीढ़ी ⇒ सीढ़ी = 3.7 × 2/√3 = 7.4/√3 ≈ 4.28 m

चरण 3: tan 60° = 3.7 / दूरी ⇒ दूरी = 3.7/√3 ≈ 2.14 m

उत्तर: सीढ़ी की लंबाई ≈ 4.28 m, पाद से दूरी ≈ 2.14 m

उदाहरण 3. चिमनी की ऊँचाई

प्रश्न: 1.5 m लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 m दूर है। उसकी आँख से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: tan 45° = (ऊँचाई − 1.5) / 28.5 ⇒ 1 = (ऊँचाई − 1.5) / 28.5

चरण 2: ऊँचाई − 1.5 = 28.5 ⇒ ऊँचाई = 30 m

उत्तर: चिमनी की ऊँचाई = 30 m

उदाहरण 4. भवन पर झंडा

प्रश्न: ज़मीन पर स्थित बिंदु P से 10 m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शीर्ष पर एक झंडा लगा है और झंडे के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। झंडे की लंबाई और बिंदु P की भवन से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: tan 30° = 10 / दूरी ⇒ दूरी = 10√3 ≈ 17.32 m

चरण 2: tan 45° = (10 + झंडा) / (10√3) ⇒ 10 + झंडा = 10√3

चरण 3: झंडा = 10√3 − 10 = 10(√3 − 1) ≈ 7.32 m

उत्तर: झंडे की लंबाई ≈ 7.32 m, दूरी = 10√3 m ≈ 17.32 m

उदाहरण 5. प्रकाश स्तंभ से दो जहाज़ (विपरीत दिशा वाला रूप)

प्रश्न: 100 m ऊँचे प्रकाश स्तंभ के शिखर से दो जहाज़ों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। एक जहाज़ दूसरे के ठीक पीछे, प्रकाश स्तंभ की एक ही ओर है। दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: tan 45° = 100 / d₁ ⇒ d₁ = 100 m

चरण 2: tan 30° = 100 / d₂ ⇒ d₂ = 100√3 m

चरण 3: बीच की दूरी = 100√3 − 100 = 100(√3 − 1) ≈ 73.2 m

उत्तर: दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी ≈ 73.2 m

इस भाग में हमने सीखा — NCERT उदाहरण ही प्रश्नावली की नींव हैं; उदाहरण पकड़ लिए तो अभ्यास के प्रश्न अपने आप आसान लगेंगे।

📖 Case Study – भवन की छत से मीनार

स्थिति पढ़िए: राहुल अपने 20 m ऊँचे भवन की छत पर खड़ा है। सामने एक मीनार है। छत से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° और मीनार के पाद का अवनमन कोण 30° दिखाई देता है। नीचे के प्रश्न इसी स्थिति पर आधारित हैं।

Q1. भवन और मीनार के बीच की दूरी है —

(A) 20 m
(B) 20√3 m
(C) 10√3 m
(D) 40 m

Q2. छत के स्तर से ऊपर मीनार का भाग है —

(A) 20 m
(B) 20√3 m
(C) 34.64 m
(D) दोनों (B) व (C)

Q3. मीनार की कुल ऊँचाई लगभग है —

(A) 40 m
(B) 54.64 m
(C) 34.64 m
(D) 73.2 m

Q4. यदि मीनार के पाद का अवनमन कोण 30° के स्थान पर 45° होता, तो दोनों के बीच की दूरी होती —

(A) 20 m
(B) 20√3 m
(C) 10 m
(D) 40√3 m

⭐ Quick Revision – Important Points

• उन्नयन कोण तब बनता है जब वस्तु आँख से ऊपर हो; अवनमन कोण तब जब वस्तु नीचे हो। दोनों क्षैतिज रेखा से नापे जाते हैं, ज़मीन से नहीं।
• अवनमन कोण = संगत उन्नयन कोण (एकांतर कोण), इसलिए मीनार से देखी गई कार/नाव के प्रश्न भी tan से ही बनते हैं।
• अधिकतर प्रश्नों में tan θ लगता है, क्योंकि खेल ऊँचाई और दूरी (लम्ब व आधार) का होता है। रस्सी/सीढ़ी/डोर की लंबाई आए तो sin या cos लगेगा।
• दो कोण वाले प्रश्नों में दूरी एक ही होती है — दो समीकरण बनाकर उसे समाप्त करना ही विधि है।
• बीच के चरणों में √3 के रूप में आगे बढ़ें; अंत में √3 = 1.732 रखकर दशमलव उत्तर दें।

आम गलतियाँ (Common Mistakes)

• देखने वाले की अपनी ऊँचाई (जैसे 1.5 m लड़का, 1.2 m लड़की) घटाना या जोड़ना भूल जाना — यह सबसे आम गलती है।
• अवनमन कोण को ज़मीन से नापना, जबकि वह क्षैतिज रेखा से नापा जाता है।
• कर्ण (रस्सी, डोर) वाले प्रश्न में भी tan लगा देना — वहाँ sin या cos लगेगा।
• दो कोण वाले प्रश्न में दोनों दूरियों को अलग-अलग मान लेना, जबकि बिंदु एक ही होता है।
• अंतिम उत्तर में इकाई (m) न लिखना।

🎯 Bihar Board Exam Tips

• आकृति (diagram) ज़रूर बनाएँ: BSEB में साफ़ आकृति और नामांकन (labelling) पर प्रस्तुति के अंक मिलते हैं।
• अनुपात चुनने की तरकीब: ऊँचाई ÷ दूरी हो तो tan; ऊँचाई ÷ लंबाई (रस्सी) हो तो sin; दूरी ÷ लंबाई हो तो cos।
• 30°, 45°, 60° की sin-cos-tan values रटने की बजाय सारणी बनाकर याद करें — Objective में सीधे काम आती हैं।
• प्रकाश स्तंभ, झंडा, दो खंभे और टूटा पेड़ — ये चार प्रकार के प्रश्न पिछले वर्षों में बार-बार आए हैं, इन्हें सबसे पहले पक्का करें।
• उत्तर के साथ इकाई (m/cm) लिखें और अंतिम उत्तर को अलग पंक्ति में रेखांकित करें।

📝 Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry MCQ Quiz – स्वयं को परखें (15 प्रश्न)

पहले स्वयं हल करें, फिर “✅ उत्तर देखें” खोलकर मिलान करें। अंत में पूरी Answer Key दी गई है।

Q1. जब हम किसी ऊँची वस्तु की ओर ऊपर की तरफ़ देखते हैं, तो बनता है —

(A) अवनमन कोण
(B) उन्नयन कोण
(C) पूरक कोण
(D) ऋजु कोण

Q2. tan 60° का मान है —

(A) 1/√3
(B) 1
(C) √3
(D) 1/2

Q3. 20 m दूर स्थित बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है —

(A) 10 m
(B) 20 m
(C) 20√3 m
(D) 40 m

Q4. सूर्य का उन्नयन कोण 60° है। 10 m ऊँचे खंभे की परछाई की लंबाई होगी —

(A) 10√3 m
(B) 10/√3 m
(C) 10 m
(D) 30 m

Q5. अवनमन कोण नापा जाता है —

(A) ऊर्ध्वाधर रेखा से
(B) दृष्टि रेखा से
(C) क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर
(D) धरती से

Q6. एक सीढ़ी दीवार से 45° का कोण बनाती है। उसका निचला सिरा दीवार से 6 m दूर है। सीढ़ी दीवार को कितनी ऊँचाई पर छूती है?

(A) 6 m
(B) 6√3 m
(C) 3 m
(D) 12 m

Q7. पतंग की डोर 100 m लंबी है और ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। पतंग की ऊँचाई है —

(A) 50 m
(B) 100 m
(C) 50√3 m
(D) 25 m

Q8. एक मीनार की परछाई उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण है —

(A) 30°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 90°

Q9. 75 m ऊँचे प्रकाश स्तंभ से नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव प्रकाश स्तंभ के पाद से कितनी दूर है?

(A) 75 m
(B) 75√3 m
(C) 25√3 m
(D) 150 m

Q10. sin 60° का मान है —

(A) 1/2
(B) √3/2
(C) 1/√2
(D) 1

Q11. ज़मीन से 30 m दूर स्थित बिंदु से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। पेड़ की ऊँचाई है —

(A) 30√3 m
(B) 10√3 m
(C) 15 m
(D) 60 m

Q12. दृष्टि रेखा (Line of Sight) होती है —

(A) आँख से वस्तु तक की सीधी रेखा
(B) केवल क्षैतिज रेखा
(C) केवल ऊर्ध्व रेखा
(D) ज़मीन के समांतर रेखा

Q13. एक खंभा 6 m ऊँचा है और उसकी परछाई 2√3 m है। सूर्य का उन्नयन कोण है —

(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 15°

Q14. टावर के शिखर से कार का अवनमन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाना दर्शाता है कि कार —

(A) दूर जा रही है
(B) टावर की ओर आ रही है
(C) रुकी हुई है
(D) टावर से टकरा गई है

Q15. यदि tan θ = 1 है, तो θ = ?

(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 0°

✅ Answer Key – Chapter 9 MCQ

❓ Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry – FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

1. Class 10 Math Chapter 9 Some Applications of Trigonometry से Bihar Board Class 10 में कितने अंक के प्रश्न आते हैं?

आमतौर पर 4–6 अंक — एक वस्तुनिष्ठ/लघु प्रश्न और एक 4–5 अंक का ऊँचाई-दूरी वाला प्रश्न। केवल एक प्रश्नावली होने के कारण यह अध्याय सबसे अधिक scoring माना जाता है।

2. उन्नयन कोण और अवनमन कोण में क्या अंतर है?

वस्तु आँख से ऊपर हो तो उन्नयन कोण, नीचे हो तो अवनमन कोण बनता है। दोनों ही क्षैतिज रेखा से नापे जाते हैं और अवनमन कोण अपने संगत उन्नयन कोण के बराबर होता है।

3. कौन-सा अनुपात कब लगाना है, यह कैसे पहचानें?

दिए गए और पूछे गए भागों को देखिए — लम्ब व आधार का संबंध हो तो tan, लम्ब व कर्ण हो तो sin, आधार व कर्ण हो तो cos।

4. क्या Chapter 9 बिना Chapter 8 पढ़े समझा जा सकता है?

लगभग नहीं। Chapter 9 के सभी प्रश्न Chapter 8 के अनुपातों और standard values पर बने हैं, इसलिए पहले Chapter 8 पक्का करें।

5. अंतिम उत्तर में √3 रखें या दशमलव?

दोनों सही माने जाते हैं। बीच के चरणों में √3 के रूप में हल करें और अंत में √3 = 1.732 रखकर दशमलव उत्तर भी लिख दें — यही NCERT की शैली है।

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आधिकारिक स्रोत: NCERT की वेबसाइट से Class 10 Maths की पुस्तकें यहाँ देखें – NCERT Textbooks (ncert.nic.in)

🔚 Conclusion

Class 10 Math Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग पूरी Class 10 Maths का सबसे छोटा और सबसे scoring अध्याय है। एक ही प्रश्नावली, तीन अनुपात और दो प्रकार के कोण — बस इतना ही इसका सार है।

आकृति बनाकर, सही अनुपात चुनकर और व्यक्ति की ऊँचाई का ध्यान रखकर आप इस अध्याय के पूरे अंक पक्के कर सकते हैं। ऊपर दिए गए 16 हल किए गए प्रश्न, 5 उदाहरण और 15 MCQ दो-तीन बार दोहरा लें — Bihar Board में इस अध्याय से गलती की गुंजाइश नहीं बचेगी।

पूरी Class 10 Maths की तैयारी के लिए Bihar Board Class 10 Mathematics Book वाले page पर सभी chapters के solutions और book PDF उपलब्ध है। Topic Clear, तो Exam Clear!